O movimento de uma partícula num potencial central
é descrito num referencial que gira com velocidade angular constante
, em relação a um referencial inercial, em torno de um eixo passando pelo centro de força. (i) Mostre que o momento conjugado ao vetor posição
(=
, mas visto do referencial girante) é
, onde
é a velocidade relativa ao referencial girante. (ii) Construa a função hamiltoniana
, onde
. (iii) Mostre que
se conserva mas não coincide com a energia total no referencial girante, isto é,
.
Passo 1
O enunciado trata do movimento de uma partícula de massa
num potencial central
, descrito num referencial que gira escalarmente com velocidade angular constante
. Denotamos por
as coordenadas no referencial girante e por
a velocidade medida nesse referencial. Queremos:
. (i) Mostrar que o momento conjugado a
é
onde o lagrangeano no referencial inercial é
com
a velocidade absoluta.
. (iii) Mostrar que
é conservada, mas que ela não coincide com a energia mecânica medida no referencial girante, ou seja,
O conteúdo principal é Lagrange–Hamilton para sistemas não inerciais.
Passo 2
No referencial girante, a velocidade absoluta da partícula é
Logo o lagrangeano escrito em variáveis girantes é
O momento conjugado a
é
Passo 3
Definimos a hamiltoniana por
Primeiro isolamos
de
:
Então
E
Subtraindo, obtemos após simplificar termos de correlação
Agrupando de forma conveniente chega-se ao resultado clássico
Passo 4
(i) Como
é constante e
depende só de
, o hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, logo
(ii) A energia mecânica medida no referencial girante seria
Mas do passo anterior vemos que
Resposta
(i)
(ii)
(iii) é conservada
mas difere da energia
no referencial girante.
(ii)
(iii)