O movimento de uma partícula num potencial central V(r) é descrito num referencial que gira com velocidade angular constante \omega, em relação a um referencial inercial, em torno de um eixo passando pelo centro de força. (i) Mostre que o momento conjugado ao vetor posição \mathbf{R} (= \mathbf{r}, mas visto do referencial girante) é \mathbf{P}=m[\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{R}], onde \mathbf{V} é a velocidade relativa ao referencial girante. (ii) Construa a função hamiltoniana H(\mathbf{R}, \mathbf{P})=\mathbf{P} \cdot \mathbf{V}-L, onde L=m v^{2} / 2-V(r). (iii) Mostre que H(\mathbf{R}, \mathbf{P}) se conserva mas não coincide com a energia total no referencial girante, isto é, H \neq m V^{2} / 2+V(R).

Passo 1

O enunciado trata do movimento de uma partícula de massa m num potencial central V(r), descrito num referencial que gira escalarmente com velocidade angular constante \boldsymbol{\omega}. Denotamos por \mathbf{R} as coordenadas no referencial girante e por \mathbf{V}=\dot{\mathbf{R}} a velocidade medida nesse referencial. Queremos:
1. (i) Mostrar que o momento conjugado a \mathbf{R} é
\mathbf{P}=m\bigl[\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}\bigr].
2. (ii) Construir a hamiltoniana
H(\mathbf{R},\mathbf{P})=\mathbf{P}\cdot\mathbf{V}-L,
onde o lagrangeano no referencial inercial é L=\tfrac12m\,v^2 - V(r) com v a velocidade absoluta.
3. (iii) Mostrar que H é conservada, mas que ela não coincide com a energia mecânica medida no referencial girante, ou seja,
H\neq \frac12m\,V^2 + V(R).
O conteúdo principal é Lagrange–Hamilton para sistemas não inerciais.

Passo 2

No referencial girante, a velocidade absoluta da partícula é
\mathbf{v} = \dot{\mathbf{r}} \;=\;\mathbf{V} + \boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}.
Logo o lagrangeano escrito em variáveis girantes é
L = \frac12\,m\,\mathbf{v}^2 \;-\;V(R) = \frac12\,m\bigl[\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}\bigr]^2 \;-\;V(R).
O momento conjugado a \mathbf{R} é
\mathbf{P} \;=\;\frac{\partial L}{\partial\mathbf{V}} = m\bigl[\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}\bigr].

Passo 3

Definimos a hamiltoniana por
H(\mathbf{R},\mathbf{P}) \;=\;\mathbf{P}\cdot\mathbf{V} \;-\;L.
Primeiro isolamos \mathbf{V} de \mathbf{P}=m(\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}):
\mathbf{V} = \frac{\mathbf{P}}{m} \;-\;\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}.
Então
\mathbf{P}\cdot\mathbf{V} = \mathbf{P}\cdot\Bigl(\frac{\mathbf{P}}{m}-\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}\Bigr) = \frac{\mathbf{P}^2}{m} - \mathbf{P}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}).
E
L = \frac12\,m\,\mathbf{V}^2 + m\,\mathbf{V}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}) + \tfrac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})^2 - V(R).
Subtraindo, obtemos após simplificar termos de correlação
H = \frac{\mathbf{P}^2}{m} - \mathbf{P}\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}) -\Bigl[\tfrac12\,m\,\mathbf{V}^2 + m\,\mathbf{V}\!\cdot(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}) +\tfrac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})^2 - V(R)\Bigr].
Agrupando de forma conveniente chega-se ao resultado clássico
H(\mathbf{R},\mathbf{P}) = \frac{1}{2m}\bigl[\mathbf{P}-m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})\bigr]^2 \;-\;\frac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})^2 \;+\;V(R).

Passo 4

(i) Como \omega é constante e V(R) depende só de \mathbf{R}, o hamiltoniano não depende explicitamente do tempo, logo
\frac{dH}{dt}=0 \quad\Longrightarrow\quad H=\text{constante}.
(ii) A energia mecânica medida no referencial girante seria
E_{\rm gir} = \frac12\,m\,V^2 + V(R).
Mas do passo anterior vemos que
H = \frac12\,m\,V^2 - \frac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})^2 + V(R) = E_{\rm gir} \;-\;\frac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})^2 \;\neq\;E_{\rm gir}.

Resposta

(i) \displaystyle \mathbf{P}=m\bigl[\mathbf{V}+\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R}\bigr].
(ii) \displaystyle H(\mathbf{R},\mathbf{P}) = \frac{1}{2m}\bigl[\mathbf{P}-m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})\bigr]^2 -\frac12\,m\,(\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{R})^2 +V(R).
(iii) H é conservada dH/dt=0 mas difere da energia \tfrac12mV^2+V(R) no referencial girante.

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