Em uma certa região do espaço o potencial elétrico é
.
(a) Encontre as componentes
e
do campo elétrico nesta região. (b) Qual o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de
que se move do ponto
até o ponto
?
(a) Encontre as componentes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado por $ V = 5x - 3x^{2} y + 2 y z^{2} $. O que a gente precisa fazer aqui:
- Parte (a): Encontrar as componentes $ E_{x} $, $ E_{y} $ e $ E_{z} $ do campo elétrico.
- Parte (b): Calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de $ 10 \mathrm{nC} $ movendo-se de um ponto até outro.
Pra isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico. Vamos passo a passo para facilitar!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como relacionar o potencial elétrico $ V $ com o campo elétrico $ \mathbf{E} $. A fórmula que liga esses dois é:
Isso significa que cada componente do campo elétrico é o negativo da derivada parcial do potencial em relação a cada coordenada. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada componente do campo elétrico derivando o potencial $ V $.
Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
Derivando em relação a $ x $:
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar $ V $ em relação a $ y $:
Derivando em relação a $ y $:
Então,
Passo 5
Por último, vamos derivar $ V $ em relação a $ z $:
Derivando em relação a $ z $:
Então,
Passo 6
Agora que temos as componentes do campo elétrico, vamos para a parte (b). Precisamos calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga $ q = 10 \mathrm{nC} $ se move de um ponto $ A(1 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}, 0,5 \mathrm{~m}) $ até o ponto $ B(2 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}, 0,5 \mathrm{~m}) $.
Sabemos que o trabalho $ W $ realizado por um campo elétrico ao mover uma carga de $ A $ para $ B $ é dado por:
Então, precisamos calcular o potencial nos pontos $ A $ e $ B $.
Passo 7
Vamos calcular $ V(A) $ e $ V(B) $ usando a expressão do potencial:
Para o ponto $ A(1, 0, 0,5) $:
Para o ponto $ B(2, 0, 0,5) $:
Passo 8
Agora, aplicando a fórmula do trabalho:
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado contra o campo elétrico.
Resposta
(a) As componentes do campo elétrico são:
(b) O trabalho realizado pelo campo elétrico é $ W = -5 \times 10^{-8} , J $.