Em uma certa região do espaço o potencial elétrico é V=5 x-3 x^2 y+2 y z^2.
(a) Encontre as componentes Ex, Ey e Ez do campo elétrico nesta região. (b) Qual o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de 10 nC que se move do ponto (1 m, 0,0 m, 0,5 m) até o ponto (2 m, 0,0 m, 0,5 m) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um potencial elétrico dado por $ V = 5x - 3x^{2} y + 2 y z^{2} $. O que a gente precisa fazer aqui:
  • Parte (a): Encontrar as componentes $ E_{x} $, $ E_{y} $ e $ E_{z} $ do campo elétrico.
  • Parte (b): Calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de $ 10 \mathrm{nC} $ movendo-se de um ponto até outro.
Pra isso, vamos usar conceitos de campo elétrico e potencial elétrico. Vamos passo a passo para facilitar!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como relacionar o potencial elétrico $ V $ com o campo elétrico $ \mathbf{E} $. A fórmula que liga esses dois é:
V
Isso significa que cada componente do campo elétrico é o negativo da derivada parcial do potencial em relação a cada coordenada. Ou seja:
E

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente do campo elétrico derivando o potencial $ V $.
Primeiro, vamos encontrar $ \frac{\partial V}{\partial x} $:
V
Derivando em relação a $ x $:
partial Vpartial x
Então,
V = 5x - 3x^2 y + 2 y z^2

Passo 4

Agora, vamos derivar $ V $ em relação a $ y $:
V
Derivando em relação a $ y $:
y
Então,
V = 5x - 3x^2 y + 2 y z^2

Passo 5

Por último, vamos derivar $ V $ em relação a $ z $:
V
Derivando em relação a $ z $:
z
Então,
V = 5x - 3x^2 y + 2 y z^2

Passo 6

Agora que temos as componentes do campo elétrico, vamos para a parte (b). Precisamos calcular o trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga $ q = 10 \mathrm{nC} $ se move de um ponto $ A(1 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}, 0,5 \mathrm{~m}) $ até o ponto $ B(2 \mathrm{~m}, 0 \mathrm{~m}, 0,5 \mathrm{~m}) $.
Sabemos que o trabalho $ W $ realizado por um campo elétrico ao mover uma carga de $ A $ para $ B $ é dado por:
q = 10 nC
Então, precisamos calcular o potencial nos pontos $ A $ e $ B $.

Passo 7

Vamos calcular $ V(A) $ e $ V(B) $ usando a expressão do potencial:
V(A)
Para o ponto $ A(1, 0, 0,5) $:
V(B)
Para o ponto $ B(2, 0, 0,5) $:
V = 5x - 3x^2 y + 2 y z^2

Passo 8

Agora, aplicando a fórmula do trabalho:
W = q [V(A) - V(B)] = 10 times 10^-9 C times (5 , V - 10 , V) = 10 times 10^-9 times (-5) = -5 times 10^-8 , J
O sinal negativo indica que o trabalho é realizado contra o campo elétrico.

Resposta

(a) As componentes do campo elétrico são:
Ex = -5 + 6xy
Ey = 3x^2 - 2z^2
Ez = -4yz
(b) O trabalho realizado pelo campo elétrico é $ W = -5 \times 10^{-8} , J $.

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