Em certa regiâo do espaço, o potencial elétrico em um sisterna é dado
o módulo do campo elétrico no ponto
, que tem coordenadas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Física envolvendo potencial elétrico e campo elétrico. A gente vai precisar saber como relacionar o potencial elétrico $ V $ com o campo elétrico $ \vec{E} $. O enunciado nos dá uma expressão do potencial elétrico em função das coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $, e a gente precisa encontrar o módulo do campo elétrico em um ponto específico $ P(-3, 2, 1) $ metros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente, nesse contexto, é um vetor que contém as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de $ V $ para encontrar o gradiente. A função potencial é:
Primeiro, calculamos a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ y $:
E, por último, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ z $:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente $ \nabla V $ é dado por:
Então,
Passo 6
O campo elétrico $ \vec{E} $ é o negativo do gradiente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(-3, 2, 1) $ nos componentes de $ \vec{E} $.
Primeiro, substituindo $ x = -3 $, $ y = 2 $, $ z = 1 $:
Para o componente $ E_x $:
Para o componente $ E_y $:
Para o componente $ E_z $:
Passo 8
Agora, temos o vetor campo elétrico no ponto $ P $:
Passo 9
Para encontrar o módulo de $ \vec{E} $, usamos a fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando a raiz quadrada:
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto $ P(-3, 2, 1) $ é aproximadamente $ 77,43 \ V/m $.