Em certa regiâo do espaço, o potencial elétrico em um sisterna é dado
V(x, y, z)=x^3 y-2 x y^2 raizz-3 x y z^3
o módulo do campo elétrico no ponto P, que tem coordenadas (-3 ; 2 ; 1) m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Física envolvendo potencial elétrico e campo elétrico. A gente vai precisar saber como relacionar o potencial elétrico $ V $ com o campo elétrico $ \vec{E} $. O enunciado nos dá uma expressão do potencial elétrico em função das coordenadas $ x $, $ y $ e $ z $, e a gente precisa encontrar o módulo do campo elétrico em um ponto específico $ P(-3, 2, 1) $ metros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \vec{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V $ pela relação:
E
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial elétrico. O gradiente, nesse contexto, é um vetor que contém as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ V $ para encontrar o gradiente. A função potencial é:
V
Primeiro, calculamos a derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $:
V(x, y, z) = x^3 y - 2 x y^2 raizz - 3 x y z^3

Passo 4

Agora, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ y $:
V
E, por último, a derivada parcial de $ V $ em relação a $ z $:
y

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente $ \nabla V $ é dado por:
nabla V
Então,
nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z )

Passo 6

O campo elétrico $ \vec{E} $ é o negativo do gradiente:
E
Simplificando:
E = -nabla V = ( - (3x^2 y - 2 y^2 raizz - 3 y z^3), - (x^3 - 4 x y raizz - 3 x z^3), - (-x y^2 z^-1/2 - 9 x y z^2) )

Passo 7

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto $ P(-3, 2, 1) $ nos componentes de $ \vec{E} $.
Primeiro, substituindo $ x = -3 $, $ y = 2 $, $ z = 1 $:
Para o componente $ E_x $:
P(-3, 2, 1)
Para o componente $ E_y $:
E
Para o componente $ E_z $:
x = -3

Passo 8

Agora, temos o vetor campo elétrico no ponto $ P $:
P

Passo 9

Para encontrar o módulo de $ \vec{E} $, usamos a fórmula:
E
Substituindo os valores:
|E| = raizEx^2 + Ey^2 + Ez^2
Calculando a raiz quadrada:
|E| = raiz(-40)^2 + (-6)^2 + (-66)^2 = raiz1600 + 36 + 4356 = raiz5992

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto $ P(-3, 2, 1) $ é aproximadamente $ 77,43 \ V/m $.

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