Em uma certa situação física, a função de onda de um elétron em
é dada por
, onde
e
são constantes reais positivas. Não há confinamento, de modo que o elétron pode se mover ao longo de toda a reta real. Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de onda de um elétron em uma situação física específica. A função de onda é dada por:
Aqui, $ A $ e $ \sigma $ são constantes reais positivas. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de localizar o elétron na posição $ x = \sigma $.
Para resolver isso, precisamos lembrar que, em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição específica é dada pelo quadrado do módulo da função de onda, $ |\Psi(x)|^2 $. Além disso, a função de onda precisa estar normalizada, ou seja, a integral de $ |\Psi(x)|^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1.
Então, vamos precisar:
- Normalizar a função de onda para encontrar o valor de $ A $.
- Calcular $ |\Psi(\sigma)|^2 $ para encontrar a probabilidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Isso significa que devemos garantir que:
Substituindo $ \Psi(x) $:
Aqui, simplificamos o expoente porque $ |\Psi(x)|^2 = \Psi(x) \cdot \Psi^*(x) = A^2 e{-x{2} / 2 \sigma} $ (já que $ \Psi(x) $ é real).
Sabemos que a integral de uma gaussiana é:
Comparando com nossa integral, temos $ a = \frac{1}{2 \sigma} $. Então:
Substituindo de volta na equação de normalização:
Agora, isolando $ A $:
Passo 3
Agora que encontramos $ A $, podemos calcular a probabilidade de encontrar o elétron na posição $ x = \sigma $. Essa probabilidade é dada por:
Substituindo $ \Psi(x) $:
Sabemos que $ A^2 = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} $, então:
Resposta
A probabilidade de encontrar o elétron na posição $ x = \sigma $ é: