Em uma certa situação física, a função de onda de um elétron em t=0 é dada por Psi(x)=A e^-x^2 / 4 sigma, onde A e sigma são constantes reais positivas. Não há confinamento, de modo que o elétron pode se mover ao longo de toda a reta real. Qual é a probabilidade de encontrar o elétron na posição x=sigma ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de onda de um elétron em uma situação física específica. A função de onda é dada por:
Psi(x) = A e^-x^2 / 4 sigma
Aqui, $ A $ e $ \sigma $ são constantes reais positivas. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de localizar o elétron na posição $ x = \sigma $.
Para resolver isso, precisamos lembrar que, em mecânica quântica, a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição específica é dada pelo quadrado do módulo da função de onda, $ |\Psi(x)|^2 $. Além disso, a função de onda precisa estar normalizada, ou seja, a integral de $ |\Psi(x)|^2 $ sobre todo o espaço deve ser igual a 1.
Então, vamos precisar:
  1. Normalizar a função de onda para encontrar o valor de $ A $.
  2. Calcular $ |\Psi(\sigma)|^2 $ para encontrar a probabilidade desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos normalizar a função de onda. Isso significa que devemos garantir que:
integral-infty^+infty |Psi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo $ \Psi(x) $:
Psi(x)
Aqui, simplificamos o expoente porque $ |\Psi(x)|^2 = \Psi(x) \cdot \Psi^*(x) = A^2 e{-x{2} / 2 \sigma} $ (já que $ \Psi(x) $ é real).
Sabemos que a integral de uma gaussiana é:
integral-infty^+infty A^2 e^-x^2 / 2 sigma , dx = 1
Comparando com nossa integral, temos $ a = \frac{1}{2 \sigma} $. Então:
|Psi(x)|^2 = Psi(x) cdot Psi^*(x) = A^2 e^-x^2 / 2 sigma
Substituindo de volta na equação de normalização:
Psi(x)
Agora, isolando $ A $:
integral-infty^+infty e^-a x^2 , dx = raizpia

Passo 3

Agora que encontramos $ A $, podemos calcular a probabilidade de encontrar o elétron na posição $ x = \sigma $. Essa probabilidade é dada por:
A
Substituindo $ \Psi(x) $:
x = sigma
Sabemos que $ A^2 = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma}} $, então:
P(x = sigma) = |Psi(sigma)|^2

Resposta

A probabilidade de encontrar o elétron na posição $ x = \sigma $ é:
x = sigma

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