Uma certa substância possui uma constante dielétrica de valor 2,8 e uma rigidez dielétrica de
. Se usarmos essa substância como material dielétrico a ser introduzido num capacitor de placas paralelas, qual será a área mínima que as placas do capacitor devem ter para que a sua capacitância seja de
e para que o capacitor seja capaz de resistir a uma diferença de potencial de
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- constante dielétrica (permitividade relativa):
. - rigidez dielétrica (campo de ruptura):
. - diferença de potencial que o capacitor deve suportar:
. - capacitância desejada:
.
O que o problema pede:
- a área mínima
das placas de um capacitor de placas paralelas, usando esse dielétrico, de modo que: - a capacitância seja
; e - o capacitor suporte a diferença de potencial
sem ocorrer ruptura dielétrica (isto é, que o campo elétrico não ultrapasse ).
- a capacitância seja
Passo 2
Formulas básicas que vamos usar e o significado de cada símbolo (explicando devagar):
- Capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchido por dielétrico:
onde
-
é a capacitância (em farads), -
é a permitividade do vácuo, , -
é a permitividade relativa do dielétrico (a constante dielétrica), -
é a área das placas (em ), -
é a separação entre as placas (em m). -
Para evitar ruptura dielétrica, o campo elétrico médio entre placas deve satisfazer
onde
é a rigidez dielétrica. Dessa desigualdade segue que a separação mínima entre as placas é
Estratégia para obter a área mínima:
- Para minimizar a área
mantendo as duas condições, devemos escolher a menor separação permitida sem ruptura, ou seja . Substituindo esse na fórmula da capacitância e isolando obtemos a área mínima.
Passo 3
Calcular a separação mínima entre placas exigida para que não haja ruptura (usar a fórmula
). Substituindo os valores:
Fazendo a divisão:
(Arredondei a
casas significativas:
.)
Passo 4
Isolar
na fórmula da capacitância e substituir
. A partir de
temos
Agora vamos substituir
,
,
e
.
Usar
,
,
e
.
Passo 5
Substituição numérica passo a passo:
Calcular o numerador :
Calcular o numerador
Calcular o denominador
:
Agora dividir para obter
:
Passo 6
Interpretando e arredondando com o número de algarismos significativos compatível com os dados (os dados têm normalmente 2–3 algarismos significativos), tomamos
Para ter uma ideia prática desse valor, em centímetros quadrados:
Parabéns — você agora tem a conta pronta para levar pra prova: calcule primeiro a espessura mínima exigida pela rigidez dielétrica e depois use a fórmula da capacitância para achar a área mínima. Dá pra decorar o passo a passo e aplicar a outros valores.