Uma certa substância possui uma constante dielétrica de valor 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 M V / m. Se usarmos essa substância como material dielétrico a ser introduzido num capacitor de placas paralelas, qual será a área mínima que as placas do capacitor devem ter para que a sua capacitância seja de 7,0 \times 10^{-2} \mu F e para que o capacitor seja capaz de resistir a uma diferença de potencial de 4,0 k V ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • constante dielétrica (permitividade relativa): \epsilon_r = 2,8.
  • rigidez dielétrica (campo de ruptura): E_{\text{bd}} = 18\\ \mathrm{MV/m} = 18\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}.
  • diferença de potencial que o capacitor deve suportar: V = 4,0\\ \mathrm{kV} = 4{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}.
  • capacitância desejada: C = 7{,}0\times10^{-2}\\ \mu\mathrm{F} = 7{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{F}.
O que o problema pede:
  • a área mínima A_{\min} das placas de um capacitor de placas paralelas, usando esse dielétrico, de modo que:
    1. a capacitância seja C; e
    2. o capacitor suporte a diferença de potencial V sem ocorrer ruptura dielétrica (isto é, que o campo elétrico não ultrapasse E_{\text{bd}}).

Passo 2

Formulas básicas que vamos usar e o significado de cada símbolo (explicando devagar):
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchido por dielétrico:
C = \epsilon_0\,\epsilon_r\,\frac{A}{d},
onde
  • C é a capacitância (em farads),
  • \epsilon_0 é a permitividade do vácuo, \epsilon_0 \approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
  • \epsilon_r é a permitividade relativa do dielétrico (a constante dielétrica),
  • A é a área das placas (em \mathrm{m}^2),
  • d é a separação entre as placas (em m).
  • Para evitar ruptura dielétrica, o campo elétrico médio entre placas deve satisfazer
E = \frac{V}{d} \le E_{\text{bd}},
onde E_{\text{bd}} é a rigidez dielétrica. Dessa desigualdade segue que a separação mínima entre as placas é
d_{\min} = \frac{V}{E_{\text{bd}}}.
Estratégia para obter a área mínima:
  • Para minimizar a área A mantendo as duas condições, devemos escolher a menor separação permitida sem ruptura, ou seja d=d_{\min}. Substituindo esse d na fórmula da capacitância e isolando A obtemos a área mínima.

Passo 3

Calcular a separação mínima entre placas exigida para que não haja ruptura (usar a fórmula d_{\min}=V/E_{\text{bd}}). Substituindo os valores:
d_{\min}=\frac{V}{E_{\text{bd}}}=\frac{4{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V}}{18\times10^{6}\\ \mathrm{V/m}}.
Fazendo a divisão:
d_{\min}=\frac{4{,}0}{18}\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0{,}222\overline{2}\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=2{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
(Arredondei a 3 casas significativas: d_{\min}\approx2{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.)

Passo 4

Isolar A na fórmula da capacitância e substituir d=d_{\min}. A partir de
C=\epsilon_0\,\epsilon_r\,\frac{A}{d},
temos
A=\frac{C\,d}{\epsilon_0\,\epsilon_r}.
Agora vamos substituir C, d_{\min}, \epsilon_0 e \epsilon_r.
Usar \epsilon_0=8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, C=7{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{F}, d=d_{\min}=2{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{m} e \epsilon_r=2{,}8.

Passo 5

Substituição numérica passo a passo:
Calcular o numerador C\,d:
C\,d = \bigl(7{,}0\times10^{-8}\bigr)\cdot\bigl(2{,}22\times10^{-4}\bigr) = 7{,}0\cdot2{,}22\times10^{-12} =15{,}54\times10^{-12} =1{,}554\times10^{-11}\\ \mathrm{F\cdot m}.
Calcular o denominador \epsilon_0\,\epsilon_r:
\epsilon_0\,\epsilon_r = \bigl(8{,}854\times10^{-12}\bigr)\cdot2{,}8 =24{,}7912\times10^{-12} =2{,}47912\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Agora dividir para obter A:
A=\frac{1{,}554\times10^{-11}}{2{,}47912\times10^{-11}} \approx 0{,}627.

Passo 6

Interpretando e arredondando com o número de algarismos significativos compatível com os dados (os dados têm normalmente 2–3 algarismos significativos), tomamos
A_{\min}\approx0{,}63\\ \mathrm{m}^2.
Para ter uma ideia prática desse valor, em centímetros quadrados:
0{,}63\\ \mathrm{m}^2 = 0{,}63\times10^{4}\\ \mathrm{cm}^2 = 6{,}3\times10^{3}\\ \mathrm{cm}^2.
Parabéns — você agora tem a conta pronta para levar pra prova: calcule primeiro a espessura mínima exigida pela rigidez dielétrica e depois use a fórmula da capacitância para achar a área mínima. Dá pra decorar o passo a passo e aplicar a outros valores.

Resposta

A_{\min}=0{,}63\\ \mathrm{m}^2

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