Dois jogadores, A e B, realizam um jogo de “cara ou coroa”. Suponha que o jogador A aposta (sempre) em “cara” enquanto o jogador B aposta (sempre) em “coroa”. O jogo é realizado da seguinte maneira: cada jogador, na sua vez, lança a moeda e, se der o resultado que coincide com a sua aposta ele vence e jogo se encerra; caso contrário, ele entrega a moeda para o seu adversário que, por sua vez, irá proceder de forma idêntica. Admita-se que a moeda é equilibrada e que o jogo é iniciado pelo jogador A.
Seja X a variável aleatória que representa o número da rodada de encerramento do jogo, com a vitória de algum dos dois jogadores. Nessas condições:
a) Determine a função de probabilidade de X .
b) Empregando essa função, calcule a probabilidade de vitória de cada jogador.
c) Calcule a probabilidade de o jogo encerrar-se em uma rodada que seja múltiplo de 3 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
  • O jogo é por rodadas (cada rodada = um lançamento de moeda).
  • O jogador A sempre aposta em “cara” e começa o jogo.
  • O jogador B sempre aposta em “coroa”.
  • A moeda é equilibrada: a probabilidade de sair cara ou coroa em um lançamento é a mesma.
  • Cada jogador, na sua vez, lança a moeda; se o resultado coincidir com sua aposta ele vence e o jogo termina; caso contrário passa a vez ao outro.
  • A variável aleatória X é o número da rodada em que o jogo termina (ou seja, o número do lançamento que deu o primeiro sucesso).
O enunciado pede:
(a) determinar a função de probabilidade de X (ou seja, P(X=n) para n=1,2,\dots);
(b) usando essa função, calcular a probabilidade de vitória de cada jogador A e B;
(c) calcular a probabilidade de o jogo terminar numa rodada múltipla de 3 (ou seja, X múltiplo de 3).

Passo 2

Entendendo o experimento e calculando P(X=n).
Cada lançamento é independente e a moeda é equilibrada; portanto a probabilidade de sucesso no lançamento de quem joga é sempre
\frac{1}{2}.
E a probabilidade de fracasso naquele lançamento é também
\frac{1}{2}.
Para o jogo terminar exatamente na rodada n é necessário que:
  • os primeiros n-1 lançamentos falhem (nenhum dos jogadores acertou nas suas respectivas tentativas), e
  • o n-ésimo lançamento seja um sucesso.
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de os n-1 primeiros falharem é \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}. A probabilidade do n-ésimo ser sucesso é \tfrac{1}{2}. Multiplicando (regra do produto para eventos independentes) obtemos a probabilidade pedida:
P(X=n)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n},\qquad n=1,2,\dots
Isso é a função de probabilidade de X.

Passo 3

Verificação rápida (normalização): a soma das probabilidades deve ser 1.
Somando para n=1 até infinito:
\sum_{n=1}^{\infty}P(X=n)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}.
Essa é uma série geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} e soma
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1,
portanto a distribuição está correta e normalizada.

Passo 4

Calcular a probabilidade de vitória do jogador A.
O jogador A joga nas rodadas ímpares: n=1,3,5,\dots. Então
P(\text{\(A\) vence})=\sum_{k=0}^{\infty}P\bigl(X=2k+1\bigr) =\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k+1}.
Fatorando \tfrac{1}{2},
P(\text{\(A\) vence})=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}.
A soma \sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\dfrac{1}{1-r} vale aqui com r=\tfrac{1}{4}, logo
P(\text{\(A\) vence})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\tfrac{3}{4}} =\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3} =\frac{2}{3}.

Passo 5

Calcular a probabilidade de vitória do jogador B.
O jogador B joga nas rodadas pares: n=2,4,6,\dots. Podemos somar diretamente ou usar complemento. Soma direta:
P(\text{\(B\) vence})=\sum_{k=1}^{\infty}P\bigl(X=2k\bigr) =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{2k} =\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}.
Essa série geométrica com razão r=\tfrac{1}{4} tem soma
\sum_{k=1}^{\infty}r^{k}=\frac{r}{1-r}=\frac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{3}.
Ou, mais curto, P(\text{\(B vence})=1-P( A vence)=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}).

Passo 6

Calcular a probabilidade de o jogo encerrar-se em uma rodada múltipla de 3.
Queremos P(X\in\{3,6,9,\dots\})=\sum_{k=1}^{\infty}P(X=3k). Usando a função de probabilidade:
P(X=3k)=\left(\frac{1}{2}\right)^{3k}=\left(\frac{1}{8}\right)^{k}.
Portanto
P\bigl(X \text{ múltiplo de }3\bigr)=\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{8}\right)^{k} =\frac{\tfrac{1}{8}}{1-\tfrac{1}{8}} =\frac{\tfrac{1}{8}}{\tfrac{7}{8}} =\frac{1}{7}.ú

Resposta

(a) P(X=n)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n},\\ n=1,2,\dots
(b) P(\text{\(A vence})=\dfrac{2}{3})
(b) P(\text{\(B vence})=\dfrac{1}{3})
(c) P\bigl(X\text{ múltiplo de }3\bigr)=\dfrac{1}{7}ú

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