Dois jogadores, A e B, realizam um jogo de “cara ou coroa”. Suponha que o jogador A aposta (sempre) em “cara” enquanto o jogador B aposta (sempre) em “coroa”. O jogo é realizado da seguinte maneira: cada jogador, na sua vez, lança a moeda e, se der o resultado que coincide com a sua aposta ele vence e jogo se encerra; caso contrário, ele entrega a moeda para o seu adversário que, por sua vez, irá proceder de forma idêntica. Admita-se que a moeda é equilibrada e que o jogo é iniciado pelo jogador A.
Seja X a variável aleatória que representa o número da rodada de encerramento do jogo, com a vitória de algum dos dois jogadores. Nessas condições:
a) Determine a função de probabilidade de X .
b) Empregando essa função, calcule a probabilidade de vitória de cada jogador.
c) Calcule a probabilidade de o jogo encerrar-se em uma rodada que seja múltiplo de 3 .
a) Determine a função de probabilidade de X .
b) Empregando essa função, calcule a probabilidade de vitória de cada jogador.
c) Calcule a probabilidade de o jogo encerrar-se em uma rodada que seja múltiplo de 3 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder:
- O jogo é por rodadas (cada rodada = um lançamento de moeda).
- O jogador
sempre aposta em “cara” e começa o jogo. - O jogador
sempre aposta em “coroa”. - A moeda é equilibrada: a probabilidade de sair cara ou coroa em um lançamento é a mesma.
- Cada jogador, na sua vez, lança a moeda; se o resultado coincidir com sua aposta ele vence e o jogo termina; caso contrário passa a vez ao outro.
- A variável aleatória
é o número da rodada em que o jogo termina (ou seja, o número do lançamento que deu o primeiro sucesso).
O enunciado pede:
(a) determinar a função de probabilidade de (ou seja,
para
);
(b) usando essa função, calcular a probabilidade de vitória de cada jogador e
;
(c) calcular a probabilidade de o jogo terminar numa rodada múltipla de 3 (ou seja, múltiplo de 3).
(a) determinar a função de probabilidade de
(b) usando essa função, calcular a probabilidade de vitória de cada jogador
(c) calcular a probabilidade de o jogo terminar numa rodada múltipla de 3 (ou seja,
Passo 2
Entendendo o experimento e calculando
.
Cada lançamento é independente e a moeda é equilibrada; portanto a probabilidade de sucesso no lançamento de quem joga é sempre
E a probabilidade de fracasso naquele lançamento é também
Para o jogo terminar exatamente na rodada
é necessário que:
- os primeiros
lançamentos falhem (nenhum dos jogadores acertou nas suas respectivas tentativas), e - o
-ésimo lançamento seja um sucesso.
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de os
primeiros falharem é
. A probabilidade do
-ésimo ser sucesso é
. Multiplicando (regra do produto para eventos independentes) obtemos a probabilidade pedida:
Isso é a função de probabilidade de
.
Passo 3
Verificação rápida (normalização): a soma das probabilidades deve ser 1.
Somando para
até infinito:
Essa é uma série geométrica com razão
e soma
portanto a distribuição está correta e normalizada.
Passo 4
Calcular a probabilidade de vitória do jogador
.
O jogador
joga nas rodadas ímpares:
. Então
Fatorando
,
A soma
vale aqui com
, logo
Passo 5
Calcular a probabilidade de vitória do jogador
.
O jogador
joga nas rodadas pares:
. Podemos somar diretamente ou usar complemento. Soma direta:
Essa série geométrica com razão
tem soma
Ou, mais curto,
vence})=1-P(
vence)=1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}).
Passo 6
Calcular a probabilidade de o jogo encerrar-se em uma rodada múltipla de 3.
Queremos
. Usando a função de probabilidade:
Portanto
Resposta
(a)
(b) vence})=\dfrac{2}{3})
(b) vence})=\dfrac{1}{3})
(c)
(b) vence})=\dfrac{2}{3})
(b) vence})=\dfrac{1}{3})
(c)