A certain observable in quantum mechanics has a 3 \times 3 matrix representation as follows:
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) .
Find the normalized eigenvectors of this observable and the corresponding eigenvalues. Is there any degeneracy?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz 3\times3 do observável:
\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Encontrar os autovetores normalizados desse operador.
  • Encontrar os autovalores correspondentes.
  • Dizer se há degenerescência (isto é, autovalores com multiplicidade maior que 1).]

Passo 2

Plano de ataque (método): para achar autovalores e autovetores resolvemos o problema característico. É conveniente retirar o fator 1/\sqrt{2} e trabalhar com a matriz
T=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois a relação entre autovalores de T e da matriz dada A=\tfrac{1}{\sqrt{2}}T é simples: se T v=\mu v então A v=\lambda v com \lambda=\dfrac{\mu}{\sqrt{2}}. Os autovetores são os mesmos para T e A. Logo calculamos os autovalores \mu de T e depois obtemos \lambda=\mu/\sqrt{2}.]

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de T. Seja \mu o parâmetro; então
\det(T-\mu I)=\det\begin{pmatrix} -\mu & 1 & 0\\[4pt] 1 & -\mu & 1\\[4pt] 0 & 1 & -\mu \end{pmatrix}.
Expandindo por cofactores (ou usando regra de Sarrus para 3\times3) obtemos
\det(T-\mu I) = -\mu\big((-\mu)(-\mu)-1\big)-1\big(1\cdot(-\mu)-0\big).
Simplificando:
\det(T-\mu I)=-\mu(\mu^2-1)+\mu=-\mu^3+2\mu=\;-\mu(\mu^2-2).
Portanto as raízes são \mu=0 e \mu=\pm\sqrt{2}.
Logo os autovalores da matriz A=\tfrac{1}{\sqrt{2}}T são
\lambda=\frac{\mu}{\sqrt{2}}\in\left\{0,\;1,\;-1\right\},
ou seja \lambda=1,\; \lambda=-1,\; \lambda=0.]

Passo 4

Encontrar o autovetor associado a [\lambda=1) (equivalente a \mu=\sqrt{2}).
Resolvemos (T-\sqrt{2}\,I)v=0. Escrevendo v=(x,y,z)^{T} obtemos o sistema
\begin{cases} -\sqrt{2}\,x + y = 0,\\[4pt] x -\sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] y -\sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=\sqrt{2}\,x\]. Substituindo na segunda: \[x -\sqrt{2}(\sqrt{2}\,x) + z = x -2x + z = -x+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=x.\] A terceira equação é então satisfeita automaticamente. Portanto um autovetor (não normalizado) é \[v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.\] O seu quadrado da norma (produto interno padrão) é \(1+2+1=4, então a norma é 2. O autovetor normalizado é
\hat v_1=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar o autovetor associado a [\lambda=-1) (equivalente a \mu=-\sqrt{2}).
Resolvemos (T+\sqrt{2}\,I)v=0. Com v=(x,y,z)^{T} obtemos
\begin{cases} \sqrt{2}\,x + y = 0,\\[4pt] x +\sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] y +\sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=-\sqrt{2}\,x\]. Substituindo na segunda: \[x +\sqrt{2}(-\sqrt{2}\,x) + z = x -2x + z = -x+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=x.\] A terceira equação fica satisfeita. Um autovetor (não normalizado) é \[v_{-1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.\] A norma ao quadrado é novamente \(1+2+1=4, norma 2. O autovetor normalizado é
\hat v_{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[4pt]-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar o autovetor associado a [\lambda=0) (equivalente a \mu=0).
Resolvemos T v=0. Com v=(x,y,z)^{T} as equações são
\begin{cases} y=0,\\[4pt] x+z=0,\\[4pt] y=0. \end{cases}
Logo y=0\] e \(z=-x. Um autovetor (não normalizado) é
v_0=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
A norma ao quadrado é 1+0+1=2, norma \sqrt{2}. O autovetor normalizado é
\hat v_0=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}}\\[4pt]0\\[4pt]-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Verificação e degenerescência. Os três autovetores \hat v_1,\hat v_{-1},\hat v_0 são mutuamente ortonormais (pode-se checar que o produto interno entre quaisquer dois distintos é zero). Os autovalores encontrados são \lambda=1,\,-1,\,0, todos distintos. Portanto não há degenerescência: cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1.

Resposta

\lambda=1,\quad \hat v_1=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\[6pt]\sqrt{2}\\[6pt]1\end{pmatrix}.
\lambda=-1,\quad \hat v_{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1\\[6pt]-\sqrt{2}\\[6pt]1\end{pmatrix}.
\lambda=0,\quad \hat v_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[6pt]0\\[6pt]-1\end{pmatrix}.
Degenerescência: nenhuma (todos os autovalores são simples).]

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