Encontrar os autovetores normalizados desse operador.
Encontrar os autovalores correspondentes.
Dizer se há degenerescência (isto é, autovalores com multiplicidade maior que 1).]
Passo 2
Plano de ataque (método): para achar autovalores e autovetores resolvemos o problema característico. É conveniente retirar o fator 1/\sqrt{2} e trabalhar com a matriz
pois a relação entre autovalores de T e da matriz dada A=\tfrac{1}{\sqrt{2}}T é simples: se T v=\mu v então A v=\lambda v com \lambda=\dfrac{\mu}{\sqrt{2}}. Os autovetores são os mesmos para T e A. Logo calculamos os autovalores \mu de T e depois obtemos \lambda=\mu/\sqrt{2}.]
Passo 3
Calculamos o polinômio característico de T. Seja \mu o parâmetro; então
Encontrar o autovetor associado a [\lambda=1) (equivalente a \mu=\sqrt{2}).
Resolvemos (T-\sqrt{2}\,I)v=0. Escrevendo v=(x,y,z)^{T} obtemos o sistema
\begin{cases} -\sqrt{2}\,x + y = 0,\\[4pt] x -\sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] y -\sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=\sqrt{2}\,x\]. Substituindo na segunda:
\[x -\sqrt{2}(\sqrt{2}\,x) + z = x -2x + z = -x+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=x.\]
A terceira equação é então satisfeita automaticamente. Portanto um autovetor (não normalizado) é
\[v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.\]
O seu quadrado da norma (produto interno padrão) é \(1+2+1=4, então a norma é 2. O autovetor normalizado é
Encontrar o autovetor associado a [\lambda=-1) (equivalente a \mu=-\sqrt{2}).
Resolvemos (T+\sqrt{2}\,I)v=0. Com v=(x,y,z)^{T} obtemos
\begin{cases} \sqrt{2}\,x + y = 0,\\[4pt] x +\sqrt{2}\,y + z = 0,\\[4pt] y +\sqrt{2}\,z = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=-\sqrt{2}\,x\]. Substituindo na segunda:
\[x +\sqrt{2}(-\sqrt{2}\,x) + z = x -2x + z = -x+z=0 \quad\Rightarrow\quad z=x.\]
A terceira equação fica satisfeita. Um autovetor (não normalizado) é
\[v_{-1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-\sqrt{2}\\[4pt]1\end{pmatrix}.\]
A norma ao quadrado é novamente \(1+2+1=4, norma 2. O autovetor normalizado é
Verificação e degenerescência. Os três autovetores \hat v_1,\hat v_{-1},\hat v_0 são mutuamente ortonormais (pode-se checar que o produto interno entre quaisquer dois distintos é zero). Os autovalores encontrados são \lambda=1,\,-1,\,0, todos distintos. Portanto não há degenerescência: cada autovalor tem multiplicidade algébrica 1.