A spin \frac{1}{2} system is known to be in an eigenstate of \mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{n}} with eigenvalue \hbar / 2, where \hat{\mathbf{n}} is a unit vector lying in the x z-plane that makes an angle \gamma with the positive z-axis.
a. Suppose S_{x} is measured. What is the probability of getting +\hbar / 2 ?
b. Evaluate the dispersion in S_{x}, that is,
(For your own peace of mind check your answers for the special cases \gamma=0, \pi / 2, and \pi.)
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto (sem resolver ainda).
Dado: um sistema de spin 1/2 está num autovetor de \mathbf{S}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor \hbar/2.
Informação geométrica: \hat{\mathbf{n}} é um vetor unitário no plano x z que faz um ângulo \gamma com o eixo +z. Ou seja, \hat{\mathbf{n}}=(\sin\gamma,0,\cos\gamma).
Pergunta (a): medir S_x. Qual a probabilidade de obter +\hbar/2?
Pergunta (b): calcular a dispersão (variância) de S_x,
Observação pedida: depois conferir os casos especiais \gamma=0,\pi/2,\pi.
Passo 2
Representações básicas e identificação do estado inicial (aula rápida e bem prática).
Vou usar a base própria de S_z: escrevo \lvert\uparrow\rangle para o autovetor com S_z=\hbar/2 e \lvert\downarrow\rangle para S_z=-\hbar/2. Em componentes (vetores coluna) essa base é conveniente para calcular amplitudes.
Os autovetores de S_x na base de S_z são (padrão):
Explicação curta: isso vem de diagonalizar a matriz de Pauli \sigma_x; não precisa memorizar, basta saber que são somas e diferenças normalizadas.
Precisamos escrever o estado inicial \lvert n;+ \rangle (autovetor de \mathbf{S}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor \hbar/2) na base \{\lvert\uparrow\rangle,\lvert\downarrow\rangle\}. Para \hat{\mathbf{n}} no plano xz com ângulo \gamma em relação a +z, resolve-se a equação
onde usei a forma adimensional \sigma\cdot \hat n (autovalor +1 corresponde a +\hbar/2 para \mathbf S). Resolvendo esse sistema (ou lembrando da rotação em torno de y), obtém-se o autovetor normalizado
Pequena justificativa algébrica: ao resolver o sistema linear para os componentes (a,b) em \lvert\psi\rangle=a\lvert\uparrow\rangle+b\lvert\downarrow\rangle obtém-se b=a\tan(\gamma/2), que normalizado dá a forma acima. Essa forma também é a rotação por \gamma em torno de y: R_y(\gamma)\lvert\uparrow\rangle.
Passo 3
Cálculo da probabilidade pedida (passo a passo, sem pular nada).
A probabilidade de obter S_x=+\hbar/2 quando o sistema está em \lvert n;+\rangle é
Agora simplifico usando identidades trigonométricas: expando o quadrado e uso 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\sin\gamma e \cos^2\frac{\gamma}{2}+\sin^2\frac{\gamma}{2}=1. Assim
Alternativamente, se souberes que para um estado “spin-up em \hat n” vale \langle\mathbf S\rangle=(\hbar/2)\hat{\mathbf n}, então \langle S_x\rangle=(\hbar/2)\sin\gamma, o que coincide.
Portanto a dispersão pedida é \displaystyle \frac{\hbar^2}{4}\cos^2\gamma. (O desvio padrão seria \hbar/2\,\lvert\cos\gamma\rvert, se interessado.)
Passo 6
Verificações rápidas dos casos especiais (confirmação pedida pelo enunciado).
\gamma=0 (vetor \hat n ao longo de +z): \sin0=0 e \cos0=1. Então P_{+}=1/2 e \mathrm{Var}(S_x)=\hbar^2/4. Isso faz sentido: medir S_x num estado \lvert\uparrow_z\rangle dá probabilidades 1/2 e variância máxima \hbar^2/4.
\gamma=\pi/2 (vetor \hat n ao longo de +x): \sin(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0. Então P_{+}=1 e \mathrm{Var}(S_x)=0. Faz sentido: o estado é autovetor de S_x com autovalor +\hbar/2.
\gamma=\pi (vetor \hat n ao longo de -z): \sin\pi=0 e \cos\pi=-1. Então P_{+}=1/2 e \mathrm{Var}(S_x)=\hbar^2/4, igual ao caso \gamma=0 — consistente com estar num autovetor de S_z (agora com sinal invertido), que também dá probabilidades 1/2 para S_x.