A spin \frac{1}{2} system is known to be in an eigenstate of \mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{n}} with eigenvalue \hbar / 2, where \hat{\mathbf{n}} is a unit vector lying in the x z-plane that makes an angle \gamma with the positive z-axis.
a. Suppose S_{x} is measured. What is the probability of getting +\hbar / 2 ?
b. Evaluate the dispersion in S_{x}, that is,
\left\langle\left(S_{x}-\left\langle S_{x}\right\rangle\right)^{2}\right\rangle .
(For your own peace of mind check your answers for the special cases \gamma=0, \pi / 2, and \pi.)

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto (sem resolver ainda).
  • Dado: um sistema de spin 1/2 está num autovetor de \mathbf{S}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor \hbar/2.
  • Informação geométrica: \hat{\mathbf{n}} é um vetor unitário no plano x z que faz um ângulo \gamma com o eixo +z. Ou seja, \hat{\mathbf{n}}=(\sin\gamma,0,\cos\gamma).
  • Pergunta (a): medir S_x. Qual a probabilidade de obter +\hbar/2?
  • Pergunta (b): calcular a dispersão (variância) de S_x,
\left\langle\left(S_{x}-\left\langle S_{x}\right\rangle\right)^{2}\right\rangle.
  • Observação pedida: depois conferir os casos especiais \gamma=0,\pi/2,\pi.

Passo 2

Representações básicas e identificação do estado inicial (aula rápida e bem prática).
  • Vou usar a base própria de S_z: escrevo \lvert\uparrow\rangle para o autovetor com S_z=\hbar/2 e \lvert\downarrow\rangle para S_z=-\hbar/2. Em componentes (vetores coluna) essa base é conveniente para calcular amplitudes.
  • Os autovetores de S_x na base de S_z são (padrão):
\lvert S_x;+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\lvert\uparrow\rangle+\lvert\downarrow\rangle\bigr),\qquad \lvert S_x;-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\lvert\uparrow\rangle-\lvert\downarrow\rangle\bigr).
Explicação curta: isso vem de diagonalizar a matriz de Pauli \sigma_x; não precisa memorizar, basta saber que são somas e diferenças normalizadas.
  • Precisamos escrever o estado inicial \lvert n;+ \rangle (autovetor de \mathbf{S}\cdot\hat{\mathbf{n}} com autovalor \hbar/2) na base \{\lvert\uparrow\rangle,\lvert\downarrow\rangle\}. Para \hat{\mathbf{n}} no plano xz com ângulo \gamma em relação a +z, resolve-se a equação
(\sigma_x\sin\gamma+\sigma_z\cos\gamma)\lvert\psi\rangle=+\lvert\psi\rangle,
onde usei a forma adimensional \sigma\cdot \hat n (autovalor +1 corresponde a +\hbar/2 para \mathbf S). Resolvendo esse sistema (ou lembrando da rotação em torno de y), obtém-se o autovetor normalizado
\lvert n;+\rangle=\cos\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)\lvert\uparrow\rangle+\sin\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)\lvert\downarrow\rangle.
Pequena justificativa algébrica: ao resolver o sistema linear para os componentes (a,b) em \lvert\psi\rangle=a\lvert\uparrow\rangle+b\lvert\downarrow\rangle obtém-se b=a\tan(\gamma/2), que normalizado dá a forma acima. Essa forma também é a rotação por \gamma em torno de y: R_y(\gamma)\lvert\uparrow\rangle.

Passo 3

Cálculo da probabilidade pedida (passo a passo, sem pular nada).
  • A probabilidade de obter S_x=+\hbar/2 quando o sistema está em \lvert n;+\rangle é
P_{+}=\bigl|\langle S_x;+ \mid n;+\rangle\bigr|^{2}.
  • Escrevo as duas kets em base S_z:
\langle S_x;+|=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl(\langle\uparrow|+\langle\downarrow|\bigr), \qquad \lvert n;+\rangle=\cos\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)\lvert\uparrow\rangle+\sin\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)\lvert\downarrow\rangle.
  • Calculo a amplitude:
\langle S_x;+ \mid n;+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\Biggl(\cos\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)+\sin\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)\Biggr).
  • Então a probabilidade é
P_{+}=\frac{1}{2}\Biggl(\cos\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)+\sin\!\left(\frac{\gamma}{2}\right)\Biggr)^{2}.
  • Agora simplifico usando identidades trigonométricas: expando o quadrado e uso 2\sin\frac{\gamma}{2}\cos\frac{\gamma}{2}=\sin\gamma e \cos^2\frac{\gamma}{2}+\sin^2\frac{\gamma}{2}=1. Assim
P_{+}=\frac{1}{2}\bigl(1+2\sin\!\tfrac{\gamma}{2}\cos\!\tfrac{\gamma}{2}\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(1+\sin\gamma\bigr).
Portanto a probabilidade pedida é \displaystyle P_{+}=\frac{1+\sin\gamma}{2}.

Passo 4

Cálculo da expectativa \langle S_x\rangle (útil para a variância).
  • Uma forma direta: \langle S_x\rangle=(\hbar/2)\bigl(P_{+}-P_{-}\bigr) com P_{-}=1-P_{+}. Então
\langle S_x\rangle=\frac{\hbar}{2}\bigl(2P_{+}-1\bigr) =\frac{\hbar}{2}\sin\gamma.
  • Alternativamente, se souberes que para um estado “spin-up em \hat n” vale \langle\mathbf S\rangle=(\hbar/2)\hat{\mathbf n}, então \langle S_x\rangle=(\hbar/2)\sin\gamma, o que coincide.

Passo 5

Cálculo da dispersão (variância) de S_x.
  • Definição: \mathrm{Var}(S_x)=\langle(S_x-\langle S_x\rangle)^2\rangle=\langle S_x^2\rangle-\langle S_x\rangle^2.
  • Observação importante para spin 1/2: S_x^2=(\hbar^2/4)\,\mathbb{I}. Logo \langle S_x^2\rangle=\hbar^2/4 para qualquer estado.
  • Já sabemos \langle S_x\rangle=(\hbar/2)\sin\gamma. Substituindo,
\mathrm{Var}(S_x)=\frac{\hbar^2}{4}-\left(\frac{\hbar}{2}\sin\gamma\right)^{2} =\frac{\hbar^2}{4}\bigl(1-\sin^2\gamma\bigr) =\frac{\hbar^2}{4}\cos^2\gamma.
  • Portanto a dispersão pedida é \displaystyle \frac{\hbar^2}{4}\cos^2\gamma. (O desvio padrão seria \hbar/2\,\lvert\cos\gamma\rvert, se interessado.)

Passo 6

Verificações rápidas dos casos especiais (confirmação pedida pelo enunciado).
  • \gamma=0 (vetor \hat n ao longo de +z): \sin0=0 e \cos0=1. Então P_{+}=1/2 e \mathrm{Var}(S_x)=\hbar^2/4. Isso faz sentido: medir S_x num estado \lvert\uparrow_z\rangle dá probabilidades 1/2 e variância máxima \hbar^2/4.
  • \gamma=\pi/2 (vetor \hat n ao longo de +x): \sin(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0. Então P_{+}=1 e \mathrm{Var}(S_x)=0. Faz sentido: o estado é autovetor de S_x com autovalor +\hbar/2.
  • \gamma=\pi (vetor \hat n ao longo de -z): \sin\pi=0 e \cos\pi=-1. Então P_{+}=1/2 e \mathrm{Var}(S_x)=\hbar^2/4, igual ao caso \gamma=0 — consistente com estar num autovetor de S_z (agora com sinal invertido), que também dá probabilidades 1/2 para S_x.

Resposta

\displaystyle P_{+}=\frac{1+\sin\gamma}{2}
\displaystyle \left\langle\left(S_{x}-\left\langle S_{x}\right\rangle\right)^{2}\right\rangle=\frac{\hbar^{2}}{4}\cos^{2}\gamma

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