Suppose
and
are eigenkets of some Hermitian operator
. Under what condition can we conclude that
is also an eigenket of
? Justify your answer.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são autovetores (eigenkets) de um operador hermitiano
. A pergunta é: sob que condição podemos concluir que
também é um autovetor de
?
Informações relevantes que temos do enunciado:
Informações relevantes que temos do enunciado:
-
é autovetor de com autovalor, digamos, . -
é autovetor de com autovalor, digamos, . -
é hermitiano (portanto seus autovalores são reais e autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais e linearmente independentes).
Passo 2
Escrevemos explicitamente as equações de autovalor que o enunciado fornece. Sejam
e
os autovalores correspondentes, então:
Agora aplicamos
à soma
:
Passo 3
Para que
seja um autovetor de
existe
tal que
Substituindo o resultado do passo anterior:
ou seja
Passo 4
Analisamos a relação obtida. Há dois casos:
- Se
e são linearmente independentes (caso típico quando , pois autovetores de um operador hermitiano com autovalores distintos são ortogonais e portanto independentes), a combinação linear acima só pode ser a vetor nulo se cada coeficiente for zero separadamente. Assim
o que implica
e portanto
.
- Se
e são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro: para algum escalar ), então na verdade são o mesmo autovetor e têm necessariamente o mesmo autovalor. Nesse caso a soma é trivialmente um múltiplo de e é autovetor.
Portanto, a condição necessária (e, como veremos a seguir, suficiente) é que os autovalores sejam iguais, isto é,
.
Passo 5
Mostro que essa condição também é suficiente: se
, então
logo
é um autovetor com autovalor
. Em palavras: qualquer combinação linear de autovetores correspondentes ao mesmo autovalor (estado degenerado) é também um autovetor.
Passo 6
Intuição e exemplos rápidos para fixar:
- Se
(autovalores diferentes), por exemplo os estados e de com autovalores diferentes, a soma não é autovetor de . - Se
(degenerescência), por exemplo dois autovetores ortogonais de um Hamiltoniano com mesma energia , então qualquer combinação linear é outro autovetor com energia .
Resposta
Somente quando
(ou trivialmente quando um dos vetores é múltiplo escalar do outro); isto é, quando
e
correspondem ao mesmo autovalor (degenerescência).