Suppose |i\rangle and |j\rangle are eigenkets of some Hermitian operator A. Under what condition can we conclude that |i\rangle+|j\rangle is also an eigenket of A ? Justify your answer.

Passo 1

O enunciado dá que |i\rangle e |j\rangle são autovetores (eigenkets) de um operador hermitiano A. A pergunta é: sob que condição podemos concluir que |i\rangle+|j\rangle também é um autovetor de A?
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • |i\rangle é autovetor de A com autovalor, digamos, a_i.
  • |j\rangle é autovetor de A com autovalor, digamos, a_j.
  • A é hermitiano (portanto seus autovalores são reais e autovetores correspondentes a autovalores distintos são ortogonais e linearmente independentes).

Passo 2

Escrevemos explicitamente as equações de autovalor que o enunciado fornece. Sejam \,a_i e \,a_j os autovalores correspondentes, então:
A\lvert i\rangle = a_i \lvert i\rangle, \qquad A\lvert j\rangle = a_j \lvert j\rangle.
Agora aplicamos A à soma \lvert i\rangle+\lvert j\rangle:
A(\lvert i\rangle+\lvert j\rangle)=A\lvert i\rangle + A\lvert j\rangle = a_i\lvert i\rangle + a_j\lvert j\rangle.

Passo 3

Para que \lvert i\rangle+\lvert j\rangle seja um autovetor de A existe \lambda\in\mathbb{R} tal que
A(\lvert i\rangle+\lvert j\rangle)=\lambda(\lvert i\rangle+\lvert j\rangle).
Substituindo o resultado do passo anterior:
a_i\lvert i\rangle + a_j\lvert j\rangle = \lambda\lvert i\rangle + \lambda\lvert j\rangle,
ou seja
(a_i-\lambda)\lvert i\rangle + (a_j-\lambda)\lvert j\rangle = 0.

Passo 4

Analisamos a relação obtida. Há dois casos:
  1. Se \lvert i\rangle e \lvert j\rangle são linearmente independentes (caso típico quando a_i\neq a_j, pois autovetores de um operador hermitiano com autovalores distintos são ortogonais e portanto independentes), a combinação linear acima só pode ser a vetor nulo se cada coeficiente for zero separadamente. Assim
a_i-\lambda=0\quad\text{e}\quad a_j-\lambda=0,
o que implica a_i=\lambda=a_j e portanto a_i=a_j.
  1. Se \lvert i\rangle e \lvert j\rangle são linearmente dependentes (isto é, um é múltiplo escalar do outro: \lvert j\rangle = c \lvert i\rangle para algum escalar c), então na verdade são o mesmo autovetor e têm necessariamente o mesmo autovalor. Nesse caso a soma é trivialmente um múltiplo de \lvert i\rangle e é autovetor.
Portanto, a condição necessária (e, como veremos a seguir, suficiente) é que os autovalores sejam iguais, isto é, a_i=a_j.

Passo 5

Mostro que essa condição também é suficiente: se a_i=a_j\equiv a, então
A(\lvert i\rangle+\lvert j\rangle)=a\lvert i\rangle + a\lvert j\rangle = a(\lvert i\rangle+\lvert j\rangle),
logo \lvert i\rangle+\lvert j\rangle é um autovetor com autovalor a. Em palavras: qualquer combinação linear de autovetores correspondentes ao mesmo autovalor (estado degenerado) é também um autovetor.

Passo 6

Intuição e exemplos rápidos para fixar:
  • Se a_i\neq a_j (autovalores diferentes), por exemplo os estados \lvert \uparrow\rangle e \lvert \downarrow\rangle de S_z com autovalores diferentes, a soma \lvert \uparrow\rangle+\lvert \downarrow\rangle não é autovetor de S_z.
  • Se a_i=a_j (degenerescência), por exemplo dois autovetores ortogonais de um Hamiltoniano com mesma energia E, então qualquer combinação linear é outro autovetor com energia E.

Resposta

Somente quando \;a_i=a_j\; (ou trivialmente quando um dos vetores é múltiplo escalar do outro); isto é, quando |i\rangle e |j\rangle correspondem ao mesmo autovalor (degenerescência).

Exercícios relacionados