Em certo acelerador de partículas, prótons se movem em uma trajetória circular de 23,0 m de diâmetro em uma câmara evacuada cujo gás residual está a uma temperatura de 295 K e a uma pressão de 10^26 atm.
a) Calcule o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico.
b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás residual se o diâmetro das moléculas é 2 times 10^-28?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre um acelerador de partículas onde prótons se movem em uma trajetória circular de 23,0 metros de diâmetro dentro de uma câmara de vácuo. A temperatura do gás residual é de 295 K e a pressão é de atm. Vamos precisar usar conceitos de física dos gases e teoria cinética dos gases para resolver as duas partes da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a): calcular o número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume, temperatura e quantidade de substâncias.
A fórmula geral da Lei dos Gases Ideais é:
PV = NkT
Onde:
  • NV = PkT é a pressão,
  • é o volume,
  • é o número de moléculas,
  • é a constante de Boltzmann ( ),
  • é a temperatura.
Como queremos encontrar o número de moléculas por centímetro cúbico, podemos rearranjar a equação para resolver para :

Passo 3

Agora, vamos inserir os valores conhecidos na equação. Mas antes, precisamos garantir que todas as unidades estejam compatíveis.
  • Pressão ( P = 10^26 , atm times 1,013 times 10^5 , Paatm = 1,013 times 10^31 , Pa ): NV = 1,013 times 10^31 , Pa1,38 times 10^-23 , J/K times 295 , K atm. Precisamos converter para Pascals (Pa) porque a constante de Boltzmann está em J/K e .
  • Temperatura ( ): 295 K.
Agora, aplicando na fórmula:

Passo 4

Vamos calcular o denominador primeiro:
1,38 times 10^-23 , J/K times 295 , K = 4,071 times 10^-21 , J
Agora, a divisão:
1,013 times 10^31 , Pa4,071 times 10^-21 , J = 2,486 times 10^51 , moléculasm^3 é

Passo 5

Como a resposta está em moléculas por metro cúbico, precisamos converter para moléculas por centímetro cúbico. Sabemos que NV = 2,486 times 10^51 , moléculas10^6 , cm^3 = 2,486 times 10^45 , moléculascm^3 , então:
éé

Resposta

a) O número de moléculas do gás residual por centímetro cúbico é aproximadamente é.

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