Em um recipiente fechado cuja capacidade V=0.5 m^3 há 0.6 kmol de anidrido carbônico à pressão de 3 times 10^6 N / m^2 aplicando a equação de Van der Waals, determinar quantas vezes terá que aumentar a temperatura e o gás para que sua pressão se duplique.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um recipiente fechado com capacidade V = 0.5, m^3 contendo 0.6, kmol de anidrido carbônico (que é o dióxido de carbono, CO2) sob uma pressão inicial de 3 times 10^6, N/m^2. Queremos descobrir quantas vezes precisamos aumentar a temperatura para que a pressão dobre, ou seja, chegue a 6 times 10^6, N/m^2. Para isso, vamos usar a equação de Van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais levando em conta o volume das moléculas e as forças de atração entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Van der Waals, que é dada por:
(P + a n^2V^2)(V - n b) = n R T
Aqui:
  • P é a pressão do gás,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de substância em mols,
  • T é a temperatura,
  • R é a constante dos gases ( 8.314, J/(mol,K)),
  • a e b são constantes específicas para cada gás.
No nosso caso, precisamos trabalhar com essas variáveis para encontrar a relação entre a temperatura inicial e a final quando a pressão dobra.

Passo 3

Vamos identificar os dados que temos:
  • Volume V = 0.5, m^3,
  • Quantidade de substância n = 0.6, kmol = 600, mol,
  • Pressão inicial P1 = 3 times 10^6, N/m^2,
  • Pressão final P2 = 6 times 10^6, N/m^2.
Queremos encontrar o fator pelo qual a temperatura precisa ser aumentada para que P dobre, ou seja, T2 = k cdot T1, onde k é o fator que vamos descobrir.

Passo 4

Vamos assumir que o volume V e a quantidade de gás n permanecem constantes durante o processo. Assim, podemos escrever as equações de Van der Waals para as condições inicial e final:
Para a condição inicial:
(P1 + a n^2V^2)(V - n b) = n R T1
Para a condição final:
(P2 + a n^2V^2)(V - n b) = n R T2
Como queremos que P2 = 2 P1, podemos substituir e manipular as equações para encontrar a relação entre T2 e T1.

Passo 5

Dividindo a equação final pela equação inicial, temos:
(2 P1 + a n^2V^2)(V - n b)(P1 + a n^2V^2)(V - n b) = T2T1
Simplificando:
2 P1 + a n^2V^2P1 + a n^2V^2 = T2T1

Passo 6

Vamos chamar a n^2V^2 de X para simplificar a expressão:
2 P1 + XP1 + X = T2T1
Queremos encontrar T2T1, então precisamos calcular os valores de P1 e X.

Passo 7

Infelizmente, não temos os valores das constantes a e b para o CO2. Contudo, geralmente, em problemas desse tipo, podemos supor que o termo a n^2V^2 é pequeno comparado a P. Se considerarmos essa aproximação, X ll P1, então:
2 P1 + XP1 + X approx 2 P1P1 = 2
Então, T2T1 approx 2, ou seja, a temperatura deve ser dobrada.

Resposta

A temperatura precisa ser aumentada aproximadamente 2 vezes para que a pressão do gás dobre.

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