Ex 3 Um certo amplificador com ganho A_{o c} ajustável é utilizado para amplificar uma fonte real v_{s}=50 \mathrm{mV} e R_{s}=500 \Omega. Na saída do amplificador há uma carga resistiva R_{c}=2 \mathrm{k} \Omega. O amplificador tem resistências de entrada e saída r_{i}=1.5 \mathrm{k} \Omega, r_{o}=500 \Omega. Deseja-se que a tensão na carga seja v_{c}=4 \mathrm{~V}. Determine o valor de A_{o c} necessário.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que ele pede, item por item (peguei todos estes números do enunciado):
  • Fonte: v_{s}=50\\ \mathrm{mV}. Vou escrever também em volts: v_{s}=0,05\\ \mathrm{V}.
  • Resistência da fonte: R_{s}=500\\ \Omega.
  • Resistência de entrada do amplificador: r_{i}=1{,}5\\ \mathrm{k}\Omega (ou seja r_{i}=1500\\ \Omega).
  • Ganho em malha aberta do amplificador: A_{oc} (valor ajustável e desconhecido).
  • Resistência de saída do amplificador: r_{o}=500\\ \Omega.
  • Carga na saída: R_{c}=2\\ \mathrm{k}\Omega (ou seja R_{c}=2000\\ \Omega).
  • Deseja-se que a tensão na carga seja v_{c}=4\\ \mathrm{V}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o valor de A_{oc} necessário para que, com os elementos dados, a tensão na carga seja v_{c}=4\\ \mathrm{V}.

Passo 2

Modelagem e cálculo da tensão na entrada do amplificador (explicando devagar).
  • Modelo físico: a fonte v_{s} com R_{s} alimenta a entrada do amplificador que apresenta uma resistência de entrada r_{i}. Assim a tensão que efetivamente aparece na entrada do bloco amplificador, que chamo de v_{i}, é a tensão no terminal sobre r_{i} quando em paralelo com R_{s}. Isso é um divisor de tensão simples entre R_{s} e r_{i}.
  • Fórmula do divisor de tensão (aqui uma mini-aula): dado um gerador ideal v_{s} em série com R_{s} e ligado a uma resistência r_{i}, a tensão sobre r_{i} vale
v_{i}=v_{s}\cdot\frac{r_{i}}{R_{s}+r_{i}}.
Nessa fórmula: v_{i} é a tensão na entrada do amplificador, v_{s} é a tensão da fonte e o fator \dfrac{r_{i}}{R_{s}+r_{i}} representa a fração da tensão que “sobra” sobre r_{i} após o partilhamento com R_{s}.
  • Agora calculo numericamente substituindo os valores (faço as contas mostrando os passos):
v_{i}=0{,}05\\ \mathrm{V}\cdot\frac{1500}{500+1500}=0{,}05\cdot\frac{1500}{2000}.
\frac{1500}{2000}=0{,}75\quad\Rightarrow\quad v_{i}=0{,}05\cdot0{,}75=0{,}0375\\ \mathrm{V}.
  • Em unidades mais usuais: v_{i}=0{,}0375\\ \mathrm{V}=37{,}5\\ \mathrm{mV}.

Passo 3

Cálculo do efeito da resistência de saída e da carga (explicando por que há divisão).
  • Modelo do estágio de saída: o amplificador gera, em malha aberta, uma fonte dependente de tensão com valor A_{oc}\,v_{i}. Essa fonte interna está em série com a resistência de saída r_{o}. A carga R_{c} conecta-se ao terminal de saída e fica em série com r_{o} sob o ponto de vista da fonte dependente. Portanto a tensão efetiva sobre R_{c} será a fração dada por um divisor entre r_{o} e R_{c}.
  • Fórmula do divisor para a saída:
v_{c}=(A_{oc}\,v_{i})\cdot\frac{R_{c}}{r_{o}+R_{c}}.
Aqui: A_{oc}\,v_{i} é a tensão que o amplificador “tenta” aplicar na saída sem carga e \dfrac{R_{c}}{r_{o}+R_{c}} é a fração que realmente aparece sobre a carga por causa da resistência de saída.
  • Calculo o fator numérico \dfrac{R_{c}}{r_{o}+R_{c}}:
\frac{R_{c}}{r_{o}+R_{c}}=\frac{2000}{500+2000}=\frac{2000}{2500}=0{,}8.

Passo 4

Combinação das duas etapas e solução para A_{oc}.
  • Substituindo v_{i} e o fator de saída na expressão de v_{c}:
v_{c}=A_{oc}\,v_{i}\cdot\frac{R_{c}}{r_{o}+R_{c}}.
  • Colocando os valores numéricos já encontrados:
v_{c}=A_{oc}\cdot0{,}0375\cdot0{,}8.
  • Faço a multiplicação dos fatores numéricos:
0{,}0375\cdot0{,}8=0{,}03,
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v_{c}=A_{oc}\cdot0{,}03.
  • Agora imposto a condição desejada v_{c}=4\\ \mathrm{V} e resolvo para A_{oc}:
A_{oc}=\frac{v_{c}}{0{,}03}=\frac{4}{0{,}03}=\frac{400}{3}\approx133{,}33\ldots

Passo 5

Interpretação e checagem rápida (um toque de incentivo).
  • O resultado significa que, com a combinação de perda na entrada (divisor com R_{s}) e na saída (série r_{o}), é preciso um ganho em malha aberta em torno de 133{,}3 para obter 4\\ \mathrm{V} na carga a partir de 50\\ \mathrm{mV} de fonte.
  • Dá para entender intuitivamente: o sinal cai para 37{,}5\\ \mathrm{mV} na entrada do amplificador e a saída só consegue transferir 80\% do que o bloco gera para a carga, então o ganho precisa compensar essas perdas. Força aí — esse cálculo é exatamente o que se faz numa prova!

Resposta

A_{oc}=\frac{400}{3}\approx133{,}33

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