A partir do resultado abaixo, que representa o potencial elétrico gerador por um anel fino de cargas q e raio R , escreva uma expressão para o valor do campo
em pontos do eixo do anel
( Lembrando que:
e
😉
Passo 1
O enunciado nos dá o potencial elétrico ao longo do eixo do anel (eixo
):
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
-
é a carga total distribuída uniformemente no anel. -
é o raio do anel. -
é a coordenada ao longo do eixo do anel (origem no centro do anel). -
é a permissividade do vácuo. - O enunciado lembra uma relação entre
e : , , . (Anotado como dado.)
Passo 2
Primeiro ajuste importante: a relação correta entre campo elétrico e potencial escalar é
ou seja, componente a componente
Explicação curta do porquê (didática): o potencial
é uma função escalar cuja variação espacial indica a tendência de força sobre uma carga-teste. O operador gradiente
aponta para a direção de maior aumento de
; a força (e portanto o campo elétrico para uma carga positiva) aponta no sentido de menor potencial, daí o sinal negativo.
Passo 3
Observação de simetria e simplificação: a expressão dada para
depende apenas de
(não aparece
nem
). Isso indica simetria axial do problema e significa que, em pontos sobre o eixo do anel, as derivadas parciais em
e
são nulas. Logo:
para pontos no eixo. Assim
nos pontos do eixo; o campo tem apenas componente
.
Passo 4
Preparar a derivada de
em função de
. Reescrevendo
de forma conveniente:
Agora vamos calcular
passo a passo usando a regra da cadeia.
Aplicando a derivada:
Pela regra da cadeia:
Simplificando o fator
que se cancela:
Portanto
Passo 5
Usando a relação correta entre campo e potencial (
), obtemos a componente
do campo:
Como
e
, o campo vetorial no eixo pode ser escrito como
Passo 6
Interpretações e pontos úteis para prova (didática e concreto):
- No centro do anel,
, a expressão dá , ou seja, o campo no centro é nulo, como se espera por simetria. - Para
(ponto muito longe do anel), aproxime e a expressão vira
que é exatamente o campo de uma carga pontual
a grande distância — bom para checar consistência.
- Sinal e direção: se
e então (campo aponta no sentido + ); para o campo aponta no sentido . Isso corresponde à ideia física de que campo aponta para fora de cargas positivas.