A partir do resultado abaixo, que representa o potencial elétrico gerador por um anel fino de cargas q e raio R , escreva uma expressão para o valor do campo E em pontos do eixo do anel
V=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} \sqrt{z^{2}+R^{2}}}
( Lembrando que: E_{x}=\frac{\partial V}{\partial x} ; E_{y}=\frac{\partial V}{\partial y} e E_{z}=\frac{\partial V}{\partial z}😉

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial elétrico ao longo do eixo do anel (eixo z):
V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\sqrt{z^{2}+R^{2}}}.
Informações relevantes que o enunciado fornece e que vamos usar:
  • q é a carga total distribuída uniformemente no anel.
  • R é o raio do anel.
  • z é a coordenada ao longo do eixo do anel (origem no centro do anel).
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.
  • O enunciado lembra uma relação entre E e V: E_{x}=\frac{\partial V}{\partial x}, E_{y}=\frac{\partial V}{\partial y}, E_{z}=\frac{\partial V}{\partial z}. (Anotado como dado.)

Passo 2

Primeiro ajuste importante: a relação correta entre campo elétrico e potencial escalar é
\mathbf{E} = -\nabla V,
ou seja, componente a componente
E_{x} = -\frac{\partial V}{\partial x},\qquad E_{y} = -\frac{\partial V}{\partial y},\qquad E_{z} = -\frac{\partial V}{\partial z}.
Explicação curta do porquê (didática): o potencial V é uma função escalar cuja variação espacial indica a tendência de força sobre uma carga-teste. O operador gradiente \nabla V aponta para a direção de maior aumento de V; a força (e portanto o campo elétrico para uma carga positiva) aponta no sentido de menor potencial, daí o sinal negativo.

Passo 3

Observação de simetria e simplificação: a expressão dada para V depende apenas de z (não aparece x nem y). Isso indica simetria axial do problema e significa que, em pontos sobre o eixo do anel, as derivadas parciais em x e y são nulas. Logo:
\frac{\partial V}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial V}{\partial y}=0
para pontos no eixo. Assim
E_{x}=0,\qquad E_{y}=0
nos pontos do eixo; o campo tem apenas componente z.

Passo 4

Preparar a derivada de V em função de z. Reescrevendo V de forma conveniente:
V(z)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\,(z^{2}+R^{2})^{-1/2}.
Agora vamos calcular \dfrac{dV}{dz} passo a passo usando a regra da cadeia.
Aplicando a derivada:
\frac{dV}{dz}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{d}{dz}\bigl((z^{2}+R^{2})^{-1/2}\bigr).
Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dz}\bigl((z^{2}+R^{2})^{-1/2}\bigr) = -\tfrac{1}{2}(z^{2}+R^{2})^{-3/2}\cdot 2z.
Simplificando o fator 2 que se cancela:
\frac{d}{dz}\bigl((z^{2}+R^{2})^{-1/2}\bigr) = -z\,(z^{2}+R^{2})^{-3/2}.
Portanto
\frac{dV}{dz} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}}\bigl(-z\,(z^{2}+R^{2})^{-3/2}\bigr) = -\frac{q\,z}{4\pi\varepsilon_{0}\,(z^{2}+R^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Usando a relação correta entre campo e potencial ( E_{z}=-\dfrac{dV}{dz}), obtemos a componente z do campo:
E_{z} = -\frac{dV}{dz} = -\left(-\frac{q\,z}{4\pi\varepsilon_{0}\,(z^{2}+R^{2})^{3/2}}\right) = \frac{q\,z}{4\pi\varepsilon_{0}\,(z^{2}+R^{2})^{3/2}}.
Como E_{x}=0 e E_{y}=0, o campo vetorial no eixo pode ser escrito como
\mathbf{E}(z)=\frac{q\,z}{4\pi\varepsilon_{0}\,(z^{2}+R^{2})^{3/2}}\;\hat{\mathbf{z}}.

Passo 6

Interpretações e pontos úteis para prova (didática e concreto):
  • No centro do anel, z=0, a expressão dá E_{z}=0, ou seja, o campo no centro é nulo, como se espera por simetria.
  • Para z\gg R (ponto muito longe do anel), aproxime (z^{2}+R^{2})^{3/2}\approx z^{3} e a expressão vira
E_{z}\approx \frac{q\,z}{4\pi\varepsilon_{0}\,z^{3}}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_{0}\,z^{2}},
que é exatamente o campo de uma carga pontual q a grande distância — bom para checar consistência.
  • Sinal e direção: se q>0 e z>0 então E_{z}>0 (campo aponta no sentido + z); para z<0 o campo aponta no sentido -z. Isso corresponde à ideia física de que campo aponta para fora de cargas positivas.

Resposta

\mathbf{E}(z)=\frac{q\,z}{4\pi\varepsilon_{0}\,(z^{2}+R^{2})^{3/2}}\;\hat{\mathbf{z}}

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