Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
calcule:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda do estado fundamental de uma partícula quântica:
Estamos no assunto de Mecânica Quântica, especificamente lidando com funções de onda e estados fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar a função de onda, ou seja, encontrar o valor de $ A_0 $ que faz com que a probabilidade total seja igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função de onda precisa ser normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Passo 3
Vamos calcular $ |\psi_{0}(x)|^{2} $:
Então, a condição de normalização fica:
Passo 4
A integral que temos aqui é uma forma conhecida da função gaussiana:
No nosso caso, $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $, então:
Passo 5
Agora, substituindo essa integração na condição de normalização:
Para encontrar $ A_0 $, isolamos ele:
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
A constante de normalização é