Num certo cenário, o estado fundamental de uma partícula quântica é descrito pela função de onda
psi0(x)=A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar
calcule:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função de onda do estado fundamental de uma partícula quântica:
psi0(x)=A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar
Estamos no assunto de Mecânica Quântica, especificamente lidando com funções de onda e estados fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender como normalizar a função de onda, ou seja, encontrar o valor de $ A_0 $ que faz com que a probabilidade total seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função de onda precisa ser normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^+infty |psi0(x)|^2 dx = 1

Passo 3

Vamos calcular $ |\psi_{0}(x)|^{2} $:
|psi0(x)|^2
Então, a condição de normalização fica:
|psi0(x)|^2 = (A0 e^-m omega x^2 / 2 hbar)^2 = A0^2 e^-m omega x^2 / hbar

Passo 4

A integral que temos aqui é uma forma conhecida da função gaussiana:
integral-infty^+infty e^-a x^2 dx = raizpia
No nosso caso, $ a = \frac{m \omega}{\hbar} $, então:
a = m omegahbar

Passo 5

Agora, substituindo essa integração na condição de normalização:
A0^2 raizpi hbarm omega = 1
Para encontrar $ A_0 $, isolamos ele:
A0
Então, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
A0^2 = 1raizpi hbarm omega = raizm omegapi hbar

Resposta

A constante de normalização é
A0 = (m omegapi hbar)^1/4

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