Um feixe de 10^6 prótons, cada um com energia cinética de 35 MeV , se aproxima de uma potencial degrau de 30 MeV .
(b) Calcule a previsão quântica para o número de prótons que é transmitido ou refletido pelo potencial degrau.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um feixe de 10^6 prótons, cada um com energia cinética de 35 MeV, que está se aproximando de um degrau de potencial de 30 MeV. O conteúdo que vamos usar aqui é da mecânica quântica, especificamente o conceito de coeficientes de transmissão e reflexão quando partículas encontram uma barreira ou degrau de potencial. Para resolver isso, precisamos entender como calcular a probabilidade de um próton passar pelo degrau (transmitido) ou ser refletido de volta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que, na mecânica clássica, se a energia cinética da partícula for maior que a altura do degrau de potencial ( E > V0), todas as partículas deveriam passar, ou seja, 100% seriam transmitidas e 0% refletidas. Porém, na mecânica quântica, mesmo com E > V0, há uma chance de reflexão devido à natureza ondulatória das partículas. Por isso, vamos calcular esses coeficientes quânticos.

Passo 3

Para calcular os coeficientes de transmissão ( T) e reflexão ( R), usamos as seguintes fórmulas:
T = 4k1k2(k1 + k2)^2
R = 1 - T
Onde:
  • k1 = raiz2mEhbar^2 é o número de onda antes do degrau.
  • k2 = raiz2m(E - V0)hbar^2 é o número de onda após o degrau.
  • m é a massa do próton.
  • hbar é a constante de Planck reduzida.
Entretanto, como estamos trabalhando com razões, podemos simplificar a expressão para o coeficiente de transmissão sem precisar calcular k1 e k2 separadamente.

Passo 4

Vamos expressar o coeficiente de transmissão T em termos das energias:
T = 4 raizE (E - V0)(raizE + raizE - V0)^2
Substituindo os valores dados:
  • E = 35 , MeV
  • V0 = 30 , MeV
Primeiro, calculamos E - V0:
E - V0 = 35 , MeV - 30 , MeV = 5 , MeV

Passo 5

Agora, vamos calcular:
T = 4 raiz35 times 5(raiz35 + raiz5)^2
Calculando as raízes quadradas:
  • raiz35 approx 5.916
  • raiz5 approx 2.236
  • raiz35 times 5 = raiz175 approx 13.228
Substituindo esses valores:
T = 4 times 13.228(5.916 + 2.236)^2 = 52.915(8.152)^2 = 52.91566.468 approx 0.796

Passo 6

Assim, o coeficiente de transmissão T é aproximadamente 0.796, ou seja, 79,6% dos prótons serão transmitidos através do degrau de potencial.
O coeficiente de reflexão R é simplesmente:
R = 1 - T = 1 - 0.796 = 0.204
Então, 20,4% dos prótons serão refletidos.

Resposta

Com base nos cálculos, aproximadamente 796.000 prótons serão transmitidos e 204.000 prótons serão refletidos pelo degrau de potencial de 30 MeV.

Exercícios relacionados