Certo dia, uma arara voa no céu da Amazônia. Suas coordenadas podem ser descritas por \vec{r}=\left(5 t^{2}-3 t\right) \hat{\imath}+\left(4-7 t^{3}\right) \hat{\jmath} com \vec{r} em metros e t em segundos. Na notação de vetores unitários, podemos dizer que a posição e a velocidade da arara em 2 s são respectivamente:
a) \vec{r}=(4 \hat{\imath}+52 \hat{\jmath}) \mathrm{m} e \vec{v}=(17 \hat{\imath}+32 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}
b) \vec{r}=(14 \hat{\imath}-52 \hat{\jmath}) \mathrm{m} e \vec{v}=(17 \hat{\imath}-84 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}
c) \vec{r}=(5 \hat{\imath}-3 \hat{\jmath}) \mathrm{m} e \vec{v}=(4 \hat{\imath}+7 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}
d) \vec{r}=(24 \hat{\imath}+52 \hat{\jmath}) \mathrm{m} e \vec{v}=(173 \hat{\imath}-32 \hat{\jmath}) \mathrm{m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede que encontremos a posição e a velocidade da arara no instante t=2\\ \mathrm{s}. As informações dadas são:
\vec{r}(t)=\bigl(5t^{2}-3t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(4-7t^{3}\bigr)\hat{\jmath},
com \vec{r} em \mathrm{m} e t em \mathrm{s}. A pergunta é: qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) corresponde a \vec{r}(2) e \vec{v}(2)?

Passo 2

Vamos calcular a posição \vec{r}(2) substituindo t=2 na expressão da posição. Calcule componente a componente:
Para a componente em \hat{\imath}:
5t^{2}-3t \quad\text{com}\quad t=2 \Rightarrow 5\cdot 2^{2}-3\cdot 2.
Agora as contas:
2^{2}=4,\quad 5\cdot 4=20,\quad 3\cdot 2=6,\quad 20-6=14.
Logo a componente em \hat{\imath} é 14.
Para a componente em \hat{\jmath}:
4-7t^{3} \quad\text{com}\quad t=2 \Rightarrow 4-7\cdot 2^{3}.
Agora as contas:
2^{3}=8,\quad 7\cdot 8=56,\quad 4-56=-52.
Logo a componente em \hat{\jmath} é -52.
Portanto
\vec{r}(2)=\bigl(14\hat{\imath}-52\hat{\jmath}\bigr)\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora precisamos da velocidade \vec{v}(t). Conceito rápido: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo, isto é,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt},
e derivamos componente a componente. Regras usadas: a derivada de uma constante é 0; a derivada de a t^{n} é a n t^{n-1} (onde a é constante e n é um número inteiro). Um exemplo pequeno para fixar: a derivada de t^{3} é 3t^{2}.
Aplicando isso à primeira componente 5t^{2}-3t:
\frac{d}{dt}\bigl(5t^{2}-3t\bigr)=5\cdot 2t^{1}-3\cdot 1t^{0}=10t-3.
Aplicando à segunda componente 4-7t^{3}:
\frac{d}{dt}\bigl(4-7t^{3}\bigr)=0-7\cdot 3t^{2}=-21t^{2}.
Portanto a expressão geral da velocidade é
\vec{v}(t)=\bigl(10t-3\bigr)\hat{\imath}+\bigl(-21t^{2}\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 4

Agora avaliamos \vec{v}(t) em t=2. Calcule componente a componente:
Componente em \hat{\imath}:
10t-3 \quad\text{com}\quad t=2 \Rightarrow 10\cdot 2-3=20-3=17.
Componente em \hat{\jmath}:
-21t^{2} \quad\text{com}\quad t=2 \Rightarrow -21\cdot 2^{2}=-21\cdot 4=-84.
Logo
\vec{v}(2)=\bigl(17\hat{\imath}-84\hat{\jmath}\bigr)\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.

Passo 5

Comparamos os resultados obtidos com as alternativas fornecidas. Encontramos
\vec{r}(2)=\bigl(14\hat{\imath}-52\hat{\jmath}\bigr)\\ \mathrm{m}
e
\vec{v}(2)=\bigl(17\hat{\imath}-84\hat{\jmath}\bigr)\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
que corresponde exatamente à alternativa (b).

Resposta

(b) \vec{r}=(14 \hat{\imath}-52 \hat{\jmath})\\ \mathrm{m} e \vec{v}=(17 \hat{\imath}-84 \hat{\jmath})\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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