Uma esfera maciça flutua em água (massa específica
) com metade de seu volume submerso. O que ocorrerá com uma segunda esfera maciça, do mesmo material, mas com o raio duas vezes maior?
a) Não flutuará.
b) Flutuará com metade de seu volume submerso.
c) Flutuará com mais da metade de seu volume submerso.
d) Flutuará com menos da metade de seu volume submerso.
a) Não flutuará.
b) Flutuará com metade de seu volume submerso.
c) Flutuará com mais da metade de seu volume submerso.
d) Flutuará com menos da metade de seu volume submerso.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
- Informação 1: a massa específica da água é
. - Informação 2: uma esfera maciça (esfera A) flutua com metade do seu volume submerso, ou seja, a fração submersa é
. - Informação 3: existe uma segunda esfera maciça (esfera B) feita do mesmo material que a primeira, ou seja, tem a mesma densidade do material, e seu raio é o dobro do raio da primeira.
- Pergunta: o que acontecerá com a esfera B? (Escolher entre as alternativas a), b), c) ou d).)
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicado passo a passo): Arquimedes / equilíbrio de forças.
- Definições de variáveis:
-
= volume total da esfera. -
= volume submerso da esfera (parte dentro da água). -
= densidade (massa específica) do material da esfera. -
= densidade do fluido (água), já dada como . -
= aceleração da gravidade (cancela nas equações abaixo).
-
- Princípio de Arquimedes (explicação): a força de empuxo que a água exerce sobre o corpo é igual ao peso do volume de água deslocado. Para um corpo em equilíbrio flutuando sem afundar nem subir, o peso do corpo é igual ao empuxo. Em fórmula:
ou seja
- Simplificando (explico cada etapa): podemos cancelar
dos dois lados porque é comum; então obtemos
Dividindo ambos os lados por
, obtemos a fração do volume submerso
:
Interpretação: a fração do volume submerso é igual à razão entre a densidade do corpo e a densidade do fluido. Isso é muito importante: não aparece o tamanho (raio) nessa fórmula, só as densidades.
Passo 3
Aplicando ao caso da primeira esfera (esfera A) para obter
:
- O enunciado diz que
. Usando a fórmula do passo anterior,
- Como
, temos
Explicando: isso significa que o material da esfera tem metade da densidade da água — por isso, ao flutuar, metade do volume fica submerso.
Passo 4
Aplicando ao caso da segunda esfera (esfera B) — argumento de independência do tamanho:
- A esfera B é do mesmo material que A, portanto tem a mesma densidade
. - Pelo resultado geral do passo 2, a fração submersa para qualquer corpo desse material em água é
Substituindo os valores,
- Observação adicional (intuição física): se dobrarmos o raio de uma esfera, seu volume cresce por um fator
, e a massa também cresce por 8 (porque massa = densidade × volume). O empuxo proporcional ao volume de água deslocado também escala por 8. Como ambos os lados do equilíbrio escalam da mesma maneira, o equilíbrio (fração submersa) não muda com o tamanho — depende só da densidade relativa.
Passo 5
Conclusão didática e incentivo: portanto, como deduzimos com as fórmulas e com a intuição, a segunda esfera, por ser do mesmo material (mesma densidade), terá exatamente a mesma fração do volume submersa que a primeira, independente do raio. Você já viu um exemplo concreto disso: pedaços maiores ou menores do mesmo pedaço de madeira flutuam com a mesma fração submersa (se a madeira for homogênea), porque a densidade é a mesma. Tá ficando claro — manda bala na próxima questão que você garante!
Resposta
b) Flutuará com
do seu volume submerso.