1. Em certo dia, a pressåo barométrica ao nível do mar é 30,1 in de Hg e a temperatura é 21 { }^{\circ} \mathrm{C}. Um medidor de pressào cm um aviào cm voo indica uma pressảo de \mathbf{1 0 . 6} psia e um medidor de temperatura mostra a temperatura do ar como 8^{\circ} \mathrm{C}. Determine a altitude do aviào acima do nível do mar.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Pressão ao nível do mar (barômetro): 30{,}1\\ \text{in Hg}.
    • Temperatura ao nível do mar: 21\\ ^\circ\text{C}.
    • Pressão indicada no avião: 10{,}6\\ \text{psia}.
    • Temperatura medida no avião: 8\\ ^\circ\text{C}.
  • Pergunta: determinar a altitude do avião acima do nível do mar (ou seja, a diferença de altura entre o avião e o nível do mar) usando os dados acima.

Passo 2

Converter unidades para o Sistema Internacional (SI) — porque a fórmula atmosférica que vamos usar funciona naturalmente com Pa, K, m, etc.
  • Converter a pressão ao nível do mar de polegadas de mercúrio para pascal. Usamos a relação aproximada
    1\\ \text{in Hg} = 3386{,}389\\ \text{Pa}.
    Então
    p_0 = 30{,}1\\ \text{in Hg} = 30{,}1\cdot 3386{,}389\\ \text{Pa} = 101930{,}31\\ \text{Pa}.
  • Converter a pressão do avião de psi (libras por polegada quadrada absoluta) para pascal. Usamos
    1\\ \text{psi} = 6894{,}757\\ \text{Pa}.
    Então
    p = 10{,}6\\ \text{psia} = 10{,}6\cdot 6894{,}757\\ \text{Pa} = 73084{,}42\\ \text{Pa}.
  • Converter temperaturas para kelvin:
    T_0 = 21\\ ^\circ\text{C} = 21 + 273{,}15 = 294{,}15\\ \text{K},
T_1 = 8\\ ^\circ\text{C} = 8 + 273{,}15 = 281{,}15\\ \text{K}.
  • Para integrar a equação hidrostática com temperatura variável usamos uma aproximação simples: tomar uma temperatura média entre nível do mar e a altitude do avião. Aqui usaremos a média aritmética (pressupõe variação aproximadamente linear da temperatura): T_{\text{m}}=\frac{T_0+T_1}{2}=\frac{294{,}15+281{,}15}{2}=287{,}65\\ \text{K}.

Passo 3

Derivar (ou lembrar) a fórmula que relaciona pressão e altitude:
  • Equação hidrostática local:
    \frac{dp}{dz}=-\rho g,
    onde p é a pressão, z a altitude, \rho a densidade do ar e g a aceleração da gravidade.
  • Relação entre densidade e pressão (equação dos gases ideais para ar seco):
    \rho=\frac{p}{R\,T},
    onde R é a constante específica do ar. Aqui usaremos
    R=287{,}05\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1}.
  • Substituindo em dp/dz:
    \frac{dp}{dz}=-\frac{p\,g}{R\,T}.
  • Separando as variáveis e integrando entre nível do mar ( p_0 em z=0) e altitude do avião ( p em z):
    \int_{p_0}^{p}\frac{1}{p}\,dp=-\frac{g}{R}\int_{0}^{z}\frac{1}{T(z')}\,dz'.
    Se aproximarmos \dfrac{1}{T(z')} por \dfrac{1}{T_{\text{m}}} (temperatura média constante), obtemos a forma simples
    \ln\!\left(\frac{p_0}{p}\right)=\frac{g}{R\,T_{\text{m}}}\,z.
    Logo a altitude z é
    z=\frac{R\,T_{\text{m}}}{g}\,\ln\!\left(\frac{p_0}{p}\right).
  • Valores constantes usados:
    R=287{,}05\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}\,\text{K}^{-1},\qquad g=9{,}80665\\ \text{m}\,\text{s}^{-2}.

Passo 4

Calcular o fator logarítmico \ln\!\left(\dfrac{p_0}{p}\right):
  • Primeiro a razão de pressões (usando os valores em Pa que calculamos):
    \frac{p_0}{p}=\frac{101930{,}31}{73084{,}42}=1{,}394693\\ (\text{aprox.}).
  • Calcular o logaritmo natural:
    \ln\!\left(\frac{p_0}{p}\right)=\ln(1{,}394693)=0{,}3330\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Calcular o fator multiplicativo \dfrac{R\,T_{\text{m}}}{g} e a altitude:
  • Primeiro calcular R\,T_{\text{m}}:
    R\,T_{\text{m}}=287{,}05\cdot 287{,}65=82569{,}93\\ \text{J}\,\text{kg}^{-1}.
  • Dividir por g:
    \frac{R\,T_{\text{m}}}{g}=\frac{82569{,}93}{9{,}80665}=8419{,}79\\ \text{m}.
  • Finalmente multiplicar pelo logaritmo:
    z=8419{,}79\cdot 0{,}3330=2804{,}6\\ \text{m}.
  • Converter para pés (se for conveniente; 1\\ \text{m}=3{,}28084\\ \text{ft}):
    z=2804{,}6\\ \text{m}\cdot 3{,}28084 = 9203\\ \text{ft}\\ (\text{aprox.}).

Passo 6

Comentário sobre aproximações e arredondamento (rápida e amistosa):
  • A principal aproximação aqui foi usar uma temperatura média constante entre nível do mar e a altitude do avião. Isso é razoável para diferenças de altitude da ordem de alguns milhares de metros se a variação real da temperatura não for muito brusca.
  • Pequenas diferenças nas constantes de conversão (ex.: valor preciso de 1\\ \text{in Hg} em Pa) alteram o resultado por poucas dezenas de metros — dentro do erro típico desse tipo de estimativa.
  • Resultado arredondado com duas ou três cifras significativas é suficiente para a maioria das aplicações de prova.

Resposta

z \approx 2{,}80\times 10^{3}\\ \text{m}
z \approx 9{,}20\times 10^{3}\\ \text{ft}

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