( 2,5 pontos) Um cubo de lado igual a
, pesa
e flutua no banho de óleo. A distância entra a superfície livre do banho e a superfície superior do cubo éciguśl a
. Admitlo ʒaque a profundidade do banho seja igual a 3,05 m , determine a força que atua na parede inclinada AB do tanque sabendo que a largura é igual a
. Mostre o módulo, a direção e o sentido da força resultante calculada e o ponto de aplicação.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei alguns dados também da imagem enviada).
Dados fornecidos:
- Lado do cubo:
. - Peso do cubo:
. - Distância entre a superfície livre do banho e a face superior do cubo:
. - Profundidade total do banho (distância vertical da superfície livre até o fundo):
. - Largura (profundidade no plano) do tanque (dimensão perpendicular ao plano do desenho):
. - A parede AB está inclinada fazendo
com a horizontal (conforme figura).
O que o problema pede:
- Determinar a força hidrostática que atua na parede inclinada AB: módulo (valor numérico), direção e sentido (isto é, qual o ângulo e para onde aponta) e o ponto de aplicação (posição da resultante sobre a superfície inclinada).
Observações iniciais (para não perder o fio):
- O cubo está totalmente submerso (a face superior está a
abaixo da superfície, e o lado é , logo o fundo do cubo está a de profundidade, menor que a profundidade do tanque). - Não foi dada a densidade do óleo; podemos calculá‑la usando o princípio de Arquimedes: o peso do cubo é equilibrado pelo empuxo (peso do volume de óleo deslocado).
Passo 2
Encontrar a densidade do óleo a partir do empuxo (aqui explico o conceito e a fórmula).
- Princípio de Arquimedes (explicação curta): o empuxo sobre um corpo submerso é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmula:
, onde -
é a densidade do óleo (unknown), -
é a aceleração da gravidade (usarei ), -
é o volume submerso do corpo.
-
- No caso o cubo está totalmente submerso, então
com . Calculo: - Como o cubo flutua em equilíbrio, o empuxo iguala o peso:
Assim - Calculando numericamente:
Passo 3
Geometria da superfície inclinada AB e área (explico como obter o comprimento imerso e a área).
- A parede AB, na figura, vai do fundo (profundidade
) até a superfície (ponto B). O desnível vertical entre as extremidades da superfície inclinada imersa é, portanto, . - Se a parede faz ângulo
com a horizontal, o comprimento da superfície imersa satisfaz . Logo - A área retangular da superfície (largura no plano do tanque é
) é
Passo 4
Fórmula do esforço resultante sobre uma superfície plana inclinada e cálculo do módulo (aula breve sobre pressão hidrostática aplicada a uma superfície plana).
- Conceito de pressão: a pressão em uma profundidade vertical
abaixo da superfície é . - Para uma superfície plana inclinada, o esforço resultante (força hidrostática) é obtido como a pressão média (pressão no centróide) vezes a área:
onde é a profundidade vertical do centróide da superfície em relação à superfície livre. - No nosso caso a superfície vai da superfície (profundidade
) até o fundo (profundidade ). O centróide vertical está na metade da profundidade: - Assim a pressão no centróide é
Calculando: - A força resultante é
- Em unidades convenientes:
Passo 5
Direção e sentido da força resultante (explicação física e cálculo do ângulo).
- Regra física: a resultante hidrostática sobre uma superfície plana atua sempre perpendicular (normal) à superfície e no sentido do fluido empurrando a superfície.
- A parede AB faz ângulo
com a horizontal; portanto a normal à parede faz ângulo com a horizontal (medido a partir do eixo positivo apontando para a direita). Em palavras: a força aponta perpendicular à AB, direcionada do fluido para a parede (no desenho isto corresponde a uma direção apontando para a esquerda e para cima, isto é, componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima). - Podemos também dar as componentes cartesianas (tomando
positivo para a direita e positivo para cima). Usando o ângulo da normal :
(sinal negativo em
indica que a componente horizontal aponta para a esquerda).
Passo 6
Determinar o ponto de aplicação (centro de pressão) com demonstração e cálculo passo a passo.
- Sessão curta de teoria: para uma superfície plana, o centro de pressão (ponto onde atua a resultante hidrostática) tem profundidade vertical
onde -
é a profundidade vertical do centróide (já usamos ), -
é o momento de inércia da área da superfície em torno de um eixo horizontal que passe pelo centróide (e paralelo à superfície livre), -
é a área.
-
- Para a nossa superfície retangular de comprimento
(medido ao longo da placa) e largura (perpendicular ao plano do desenho), as variações verticais ao longo da placa são proporcionais à coordenada ao longo da placa multiplicada por . Assim: - Substituindo em
: - Como
, temos . E como , obtemos: Ou seja, para uma superfície reta que vai da superfície até a profundidade , o centro de pressão fica a da profundidade. - Calculando numericamente:
Então o ponto de aplicação está a abaixo da superfície livre. - Em termos da posição ao longo da placa (medida ao longo da superfície inclinada desde o topo, que coincide com a superfície livre), a distância ao centro de pressão é
contados a partir do topo (ponto B na figura) ao longo da superfície inclinada. Como , isto corresponde a uma distância de medida a partir do fundo ao longo da superfície (isto é, o centro de pressão está a ao longo da placa a partir do ponto A, e a a partir de B).
Passo 7
Resumo final dos resultados num formato direto (estes valores foram obtidos nos passos anteriores; mantenho as unidades e sinais claros).
- Densidade do óleo encontrada:
. - Força hidrostática resultante (módulo):
- Direção: normal à parede AB (isto é, perpendicular à superfície inclinada).
- Em relação à horizontal (eixo positivo para a direita), a direção da força é
(ou seja, a normal forma com a horizontal para a direita).
- Em relação à horizontal (eixo positivo para a direita), a direção da força é
- Sentido: do fluido para a parede (a força empurra a parede; na figura tem componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima).
- Componentes (referência:
para a direita, para cima):
- Componentes (referência:
- Ponto de aplicação (centro de pressão):
- Profundidade vertical abaixo da superfície:
- Distância ao longo da placa medida a partir do ponto B (topo, na superfície):
- Distância ao longo da placa medida a partir do ponto A (fundo):
- Profundidade vertical abaixo da superfície:
Resposta
Módulo:
Direção: normal à superfície AB (perpendicular à parede), isto é, formando com a horizontal para a direita.
Sentido: do fluido para a parede (empurrando a parede); componentes (esquerda),
(para cima).
Ponto de aplicação: profundidade vertical abaixo da superfície livre; ao longo da placa,
a partir do ponto B (superfície) e
a partir do ponto A (fundo).
Direção: normal à superfície AB (perpendicular à parede), isto é, formando
Sentido: do fluido para a parede (empurrando a parede); componentes
Ponto de aplicação: profundidade vertical