( 2,5 pontos) Um cubo de lado igual a 1,22 \mathrm{~m}, pesa 13,34 \mathrm{kN} e flutua no banho de óleo. A distância entra a superfície livre do banho e a superfície superior do cubo éciguśl a 0,61 \mathrm{~m}. Admitlo ʒaque a profundidade do banho seja igual a 3,05 m , determine a força que atua na parede inclinada AB do tanque sabendo que a largura é igual a 1,83 \mathrm{~m}. Mostre o módulo, a direção e o sentido da força resultante calculada e o ponto de aplicação.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei alguns dados também da imagem enviada).
Dados fornecidos:
  • Lado do cubo: \,1{,}22\\ \mathrm{m}.
  • Peso do cubo: \,13{,}34\\ \mathrm{kN}=13340\\ \mathrm{N}.
  • Distância entre a superfície livre do banho e a face superior do cubo: \,0{,}61\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade total do banho (distância vertical da superfície livre até o fundo): \,3{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Largura (profundidade no plano) do tanque (dimensão perpendicular ao plano do desenho): \,1{,}83\\ \mathrm{m}.
  • A parede AB está inclinada fazendo \,30^\circ com a horizontal (conforme figura).
O que o problema pede:
  • Determinar a força hidrostática que atua na parede inclinada AB: módulo (valor numérico), direção e sentido (isto é, qual o ângulo e para onde aponta) e o ponto de aplicação (posição da resultante sobre a superfície inclinada).
Observações iniciais (para não perder o fio):
  • O cubo está totalmente submerso (a face superior está a \,0{,}61\\ \mathrm{m} abaixo da superfície, e o lado é \,1{,}22\\ \mathrm{m}, logo o fundo do cubo está a \,0{,}61+1{,}22=1{,}83\\ \mathrm{m} de profundidade, menor que a profundidade do tanque).
  • Não foi dada a densidade do óleo; podemos calculá‑la usando o princípio de Arquimedes: o peso do cubo é equilibrado pelo empuxo (peso do volume de óleo deslocado).

Passo 2

Encontrar a densidade do óleo a partir do empuxo (aqui explico o conceito e a fórmula).
  • Princípio de Arquimedes (explicação curta): o empuxo sobre um corpo submerso é igual ao peso do fluido deslocado. Em fórmula: \,E=\rho_{\text{oil}}\,g\,V_{\text{sub}}, onde
    • \rho_{\text{oil}} é a densidade do óleo (unknown),
    • g é a aceleração da gravidade (usarei \,g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}),
    • V_{\text{sub}} é o volume submerso do corpo.
  • No caso o cubo está totalmente submerso, então \,V_{\text{sub}}=V_{\text{cubo}}=a^3 com \,a=1{,}22\\ \mathrm{m}. Calculo: V = 1{,}22^3 = 1{,}815848\\ \mathrm{m^3}.
  • Como o cubo flutua em equilíbrio, o empuxo iguala o peso: \rho_{\text{oil}}\,g\,V = 13340\\ \mathrm{N}.Assim \rho_{\text{oil}} = \frac{13340}{g\,V} = \frac{13340}{9{,}81\cdot 1{,}815848}.
  • Calculando numericamente: \rho_{\text{oil}} \approx 748{,}82\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Geometria da superfície inclinada AB e área (explico como obter o comprimento imerso e a área).
  • A parede AB, na figura, vai do fundo (profundidade \,H=3{,}05\\ \mathrm{m}) até a superfície (ponto B). O desnível vertical entre as extremidades da superfície inclinada imersa é, portanto, \,H=3{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Se a parede faz ângulo \theta=30^\circ com a horizontal, o comprimento da superfície imersa L satisfaz \,L\sin\theta = H. Logo L = \frac{H}{\sin\theta} = \frac{3{,}05}{\sin 30^\circ} = \frac{3{,}05}{0{,}5} = 6{,}10\\ \mathrm{m}.
  • A área retangular da superfície (largura no plano do tanque é b=1{,}83\\ \mathrm{m}) é A = L\cdot b = 6{,}10\cdot 1{,}83 = 11{,}163\\ \mathrm{m^2}.

Passo 4

Fórmula do esforço resultante sobre uma superfície plana inclinada e cálculo do módulo (aula breve sobre pressão hidrostática aplicada a uma superfície plana).
  • Conceito de pressão: a pressão em uma profundidade vertical y abaixo da superfície é \,p(y)=\rho g y.
  • Para uma superfície plana inclinada, o esforço resultante (força hidrostática) é obtido como a pressão média (pressão no centróide) vezes a área: F_R = p_c\,A,\quad\text{com}\quad p_c=\rho g h_c,onde h_c é a profundidade vertical do centróide da superfície em relação à superfície livre.
  • No nosso caso a superfície vai da superfície (profundidade 0) até o fundo (profundidade H). O centróide vertical está na metade da profundidade: h_c = \frac{H}{2} = \frac{3{,}05}{2} = 1{,}525\\ \mathrm{m}.
  • Assim a pressão no centróide é p_c = \rho_{\text{oil}}\,g\,h_c \approx 748{,}82\cdot 9{,}81\cdot 1{,}525 \\ \mathrm{Pa}.Calculando: p_c \approx 11200{,}35\\ \mathrm{Pa}.
  • A força resultante é F_R = p_c\,A \approx 11200{,}35\cdot 11{,}163 \\ \mathrm{N} \approx 125030\\ \mathrm{N}.
  • Em unidades convenientes: F_R \approx 125{,}0\\ \mathrm{kN}.

Passo 5

Direção e sentido da força resultante (explicação física e cálculo do ângulo).
  • Regra física: a resultante hidrostática sobre uma superfície plana atua sempre perpendicular (normal) à superfície e no sentido do fluido empurrando a superfície.
  • A parede AB faz ângulo \theta=30^\circ com a horizontal; portanto a normal à parede faz ângulo \theta+90^\circ=120^\circ com a horizontal (medido a partir do eixo positivo x apontando para a direita). Em palavras: a força aponta perpendicular à AB, direcionada do fluido para a parede (no desenho isto corresponde a uma direção apontando para a esquerda e para cima, isto é, componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima).
  • Podemos também dar as componentes cartesianas (tomando x positivo para a direita e y positivo para cima). Usando o ângulo da normal \,120^\circ: F_x = F_R\cos 120^\circ = F_R\cdot(-0{,}5) \approx -62{,}515\\ \mathrm{kN},
F_y = F_R\sin 120^\circ = F_R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 108{,}260\\ \mathrm{kN}.
(sinal negativo em F_x indica que a componente horizontal aponta para a esquerda).

Passo 6

Determinar o ponto de aplicação (centro de pressão) com demonstração e cálculo passo a passo.
  • Sessão curta de teoria: para uma superfície plana, o centro de pressão (ponto onde atua a resultante hidrostática) tem profundidade vertical y_p = y_c + \frac{I_{x_c}}{y_c A},onde
    • y_c é a profundidade vertical do centróide (já usamos h_c),
    • I_{x_c} é o momento de inércia da área da superfície em torno de um eixo horizontal que passe pelo centróide (e paralelo à superfície livre),
    • A é a área.
  • Para a nossa superfície retangular de comprimento L (medido ao longo da placa) e largura b (perpendicular ao plano do desenho), as variações verticais ao longo da placa são proporcionais à coordenada ao longo da placa multiplicada por \sin\theta. Assim: I_{x_c} = b \int_{-L/2}^{L/2} (s\sin\theta)^2\,ds = b\sin^2\theta\frac{L^3}{12}.
  • Substituindo em y_p: y_p = y_c + \frac{b\sin^2\theta\,L^3/12}{y_c\,(bL)} = y_c + \frac{L^2\sin^2\theta}{12\,y_c}.
  • Como L\sin\theta = H, temos L^2\sin^2\theta = H^2. E como y_c=H/2, obtemos: y_p = \frac{H}{2} + \frac{H^2}{12\cdot (H/2)} = \frac{H}{2} + \frac{H}{6} = \frac{2H}{3}.Ou seja, para uma superfície reta que vai da superfície até a profundidade H, o centro de pressão fica a 2/3 da profundidade.
  • Calculando numericamente: y_p = \frac{2H}{3} = \frac{2\cdot 3{,}05}{3} = 2{,}0333\\ \mathrm{m}.Então o ponto de aplicação está a \,2{,}033\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre.
  • Em termos da posição ao longo da placa (medida ao longo da superfície inclinada desde o topo, que coincide com a superfície livre), a distância ao centro de pressão é s_p = \frac{y_p}{\sin\theta} = \frac{2{,}0333}{\sin 30^\circ} = \frac{2{,}0333}{0{,}5} = 4{,}0667\\ \mathrm{m}contados a partir do topo (ponto B na figura) ao longo da superfície inclinada. Como L=6{,}10\\ \mathrm{m}, isto corresponde a uma distância de L-s_p = 6{,}10 - 4{,}0667 = 2{,}0333\\ \mathrm{m}medida a partir do fundo A ao longo da superfície (isto é, o centro de pressão está a \,2{,}033\\ \mathrm{m} ao longo da placa a partir do ponto A, e a \,4{,}067\\ \mathrm{m} a partir de B).

Passo 7

Resumo final dos resultados num formato direto (estes valores foram obtidos nos passos anteriores; mantenho as unidades e sinais claros).
  • Densidade do óleo encontrada: \rho_{\text{oil}}\approx 748{,}82\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Força hidrostática resultante (módulo): \,F_R \approx 125{,}0\\ \mathrm{kN}.
  • Direção: normal à parede AB (isto é, perpendicular à superfície inclinada).
    • Em relação à horizontal (eixo positivo para a direita), a direção da força é \,120^\circ (ou seja, a normal forma 120^\circ com a horizontal para a direita).
  • Sentido: do fluido para a parede (a força empurra a parede; na figura tem componente horizontal para a esquerda e componente vertical para cima).
    • Componentes (referência: x para a direita, y para cima): F_x \approx -62{,}5\\ \mathrm{kN},\qquad F_y \approx 108{,}3\\ \mathrm{kN}.
  • Ponto de aplicação (centro de pressão):
    • Profundidade vertical abaixo da superfície: \,y_p \approx 2{,}033\\ \mathrm{m}.
    • Distância ao longo da placa medida a partir do ponto B (topo, na superfície): \,s_p \approx 4{,}067\\ \mathrm{m}.
    • Distância ao longo da placa medida a partir do ponto A (fundo): \,2{,}033\\ \mathrm{m}.

Resposta

Módulo: F_R\approx125{,}0\\ \mathrm{kN}.
Direção: normal à superfície AB (perpendicular à parede), isto é, formando \,120^\circ com a horizontal para a direita.
Sentido: do fluido para a parede (empurrando a parede); componentes F_x\approx-62{,}5\\ \mathrm{kN} (esquerda), F_y\approx108{,}3\\ \mathrm{kN} (para cima).
Ponto de aplicação: profundidade vertical y_p\approx2{,}033\\ \mathrm{m} abaixo da superfície livre; ao longo da placa, s_p\approx4{,}067\\ \mathrm{m} a partir do ponto B (superfície) e L-s_p\approx2{,}033\\ \mathrm{m} a partir do ponto A (fundo).

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