Um certo isótopo radioativo possui uma taxa de desintegração de 2.5 \times 10^{9} desintegrações por segundo, e sua meia-vida é de 30 anos.
(a) Use a relação R(t)=\lambda N(t) para encontrar a constante de decaimento \lambda \mathrm{em} termos da meia-vida t_{1 / 2}.
(b) Determine o número de átomos radioativos N_{0} presentes inicialmente no isótopo.
(c) Após quantos anos a taxa de desintegração cairá para 25 \% de seu valor inicial?

Passo 1

O enunciado trata do decaimento radioativo, cuja lei é
R(t)=\lambda\,N(t),
onde R(t) é a taxa de desintegração, \lambda a constante de decaimento e N(t) o número de átomos no tempo t. Nos dão a meia-vida t_{1/2}=30 anos e a taxa inicial R(0)=2{,}5\times10^{9} desintegrações/s. Precisamos encontrar:
(a) \lambda em função de t_{1/2},
(b) o número inicial de átomos N_{0},
(c) o tempo para a taxa cair a 25\% de R(0).

Passo 2

A meia-vida satisfaz
t_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}.
Isolando \lambda, obtemos
\lambda=\frac{\ln2}{t_{1/2}}.
Convertendo t_{1/2} para segundos:
t_{1/2}=30\times365\times24\times3600\approx9{,}46\times10^{8}\,\text{s},
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\lambda=\frac{\ln2}{9,46\times10^{8}}\approx7,33\times10^{-10}\,\text{s}^{-1}.

Passo 3

No instante inicial vale R(0)=\lambda\,N_{0}. Assim,
N_{0}=\frac{R(0)}{\lambda} =\frac{2{,}5\times10^{9}}{7{,}33\times10^{-10}} \approx3,41\times10^{18}\text{ átomos}.á

Passo 4

Queremos R(t)=0,25\,R(0). Como
\frac{R(t)}{R(0)}=e^{-\lambda t}=0{,}25,
temos
t=\frac{\ln(0{,}25)}{-\lambda} =\frac{\ln4}{\lambda} =2\,t_{1/2}=2\times30=60\text{ anos}.

Resposta

(a) \lambda=\dfrac{\ln2}{t_{1/2}}\approx7,33\times10^{-10}\,\text{s}^{-1}.
(b) N_{0}=\dfrac{R(0)}{\lambda}\approx3,41\times10^{18} átomos.
(c) t=60 anos.

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