1. A população de uma certa cidade é prevista ser de P(t)=100000+48 t^{\frac{3}{2}}-4 t^{2} pessoas t anos após 1985. Em que ano a população atingirá seu máximo?
Encontraremos os pontos críticos da função.
P^{\prime}(t)=72 \sqrt{t}-8 t=0 \Rightarrow t^{2}-81|t|=0
Como t \geq 0 \Rightarrow t(t-81)=0 \Rightarrow t=0 e t=81
P(0)=100000 e P(81)=108748

Passo 1

O enunciado dá a função
P(t)=100000+48\,t^{\frac32}-4\,t^{2}
que representa a população t anos após 1985, e pede em que ano essa população atinge o máximo. Para resolver, vamos encontrar os pontos críticos de P usando a derivada e verificar onde ocorre o máximo.

Passo 2

Calculamos a derivada de P. A derivada de 100000 é 0, de 48\,t^{3/2} é
48\cdot\frac32\,t^{\frac12}=72\sqrt{t}
e de -4\,t^{2} é -8t. Logo,
P'(t)=72\sqrt{t}-8t.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
P'(t)=0
ou seja
72\sqrt{t}-8t=0 \quad\Longrightarrow\quad 8\sqrt{t}\,(9-\sqrt{t})=0.
Assim \sqrt{t}=0 leva a t=0 e \sqrt{t}=9 leva a t=81.

Passo 4

Analisando o sinal de P': para 0<t<81 tem-se P'>0 (crescimento) e para t>81 tem-se P'<0 (decrescimento). Portanto t=81 é ponto de máximo absoluto em t\ge0.

Passo 5

Como t é o número de anos após 1985, o ano correspondente a t=81 é
1985 + 81 = 2066.

Resposta

2066

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