1. Um certo tipo de faisão foi introduzido numa ilha norte americana e o número de indivíduos é dado por, P(t)=10+\frac{100 t}{t^{2}+9}, t>0.
    (a) Calcular P^{\prime}(t).
    (b) Inicialmente a população cresce ou decresce?
    (c) Podemos especular sobre um eventual tamanho populacional?
    (a) P^{\prime}(t)=\frac{100\left(t^{2}+9\right)-100 t(2 t)}{\left(t^{2}+9\right)^{2}}=\frac{900-100 t^{2}}{\left(t^{2}+9\right)^{2}}
    (b) t=0 \Rightarrow P^{\prime}(0)=\frac{900}{81}>0 \Rightarrow P(t) cresce inicialmente
    (c) Procurando os pontos críticos:
    P^{\prime}(t)=\frac{900-100 t^{2}}{\left(t^{2}+9\right)^{2}}=0 \Rightarrow t^{2}=9 \Rightarrow t= \pm 3
    Como t>0 interessa-nos saber o comportamento da função em t=3. Assim, analisaremos os valores das derivadas primeira e segunda no ponto t=3.
    P^{\prime \prime}(t)=\frac{200 t^{3}-5400 t}{\left(t^{2}+9\right)^{3}} \Rightarrow P^{\prime \prime}(3)<0
    O que nos leva a concluir que em t=3 ocorre um máximo, com P(3)=\frac{80}{3}=26.67 indivíduos.

Passo 1

O enunciado define a população de faisões por
P(t)=10+\frac{100\,t}{t^{2}+9},\quad t>0.
Pede-se (a) a derivada P'(t), (b) verificar se inicialmente a população cresce ou decresce e (c) especular um eventual tamanho populacional. Vamos usar regra do quociente, análise de sinal de P'(t), pontos críticos e estudo de limites.

Passo 2

Para derivar o termo \tfrac{100\,t}{t^{2}+9}, aplicamos regra do quociente a g(t)=\tfrac{t}{t^{2}+9}:
g'(t)=\frac{(t^{2}+9)\cdot1 - t\cdot 2t}{(t^{2}+9)^{2}} =\frac{9 - t^{2}}{(t^{2}+9)^{2}}.
Multiplicando por 100, obtemos
P'(t) =100\,g'(t) =\frac{100\,(9 - t^{2})}{(t^{2}+9)^{2}} =\frac{900 - 100\,t^{2}}{(t^{2}+9)^{2}}.

Passo 3

Para t\to 0^{+},
P'(0) =\frac{900 - 0}{(0+9)^{2}} =\frac{900}{81} >0,
logo, no início a população \emph{cresce}.

Passo 4

Resolvendo P'(t)=0:
900 - 100\cdot t^{2}=0 \;\Longrightarrow\; t^{2}=9 \;\Longrightarrow\; t=3
(no domínio t>0). Testando o sinal de P'(t) nota-se que P'(t)>0 para 0<t<3 e P'(t)<0 para t>3, portanto em t=3 ocorre um \emph{máximo}.
P(3) =10+\frac{100\cdot 3}{3^{2}+9} =10+\frac{300}{18} =10+\frac{50}{3} =\frac{80}{3}\approx 26{,}67.

Passo 5

Analisando o limite quando t\to\infty:
\lim_{t\to\infty}P(t) =10+\lim_{t\to\infty}\frac{100\,t}{t^{2}+9} =10+\lim_{t\to\infty}\frac{100}{t+\tfrac{9}{t}} =10.
Isso mostra que, no longo prazo, a população tende a 10 indivíduos.

Resposta

(a) \displaystyle P'(t)=\frac{900 - 100\,t^{2}}{(t^{2}+9)^{2}}.
(b) Inicialmente a população cresce, pois P'(0)>0.
(c) Atinge um máximo de \tfrac{80}{3}\approx 26{,}67 indivíduos em t=3 e decresce depois, aproximando-se de 10 indivíduos quando t\to\infty.

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