(Cesgranrio) O sistema \left\{\begin{array}{l}a x+y-z=0 \\\ x-a y+z=1 \\\ x+y=b\end{array}\right. tem uma infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos parâmetros a e b, podemos concluir que:
a) a=1 e b arbitrário.
b) a=1 e b \neq 0
c) a=1 e b=1
d) a=0 e b=1

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} a x + y - z = 0,\\\ x - a y + z = 1,\\\ x + y = b, \end{cases}
e pede para ocorrerem infinitas soluções. Isso significa que a matriz de coeficientes deve ter determinante zero (para reduzirmos o posto) e o sistema deve ser consistente (posto da ampliada igual ao da coeficiente).

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz de coeficientes
M = \begin{pmatrix} a & 1 & -1\\\\ 1 & -a & 1\\\\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Usando a expansão pela primeira linha:
\det(M) = a\begin{vmatrix}-a & 1\\\ 1 & 0\end{vmatrix} -1\begin{vmatrix}1 & 1\\\ 1 & 0\end{vmatrix} +(-1)\begin{vmatrix}1 & -a\\\ 1 & 1\end{vmatrix} = a(-1) -1(-1) -1(1+a) = -a +1 -1 -a = -2a.
Para \det(M)=0, precisamos de
-2a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=0.

Passo 3

Com a=0\), o sistema vira \[\begin{cases} y - z = 0,\\\ x + z = 1,\\\ x + y = b. \end{cases}
Da primeira equação, z=y\]. Substituindo em \(x+z=1
x + y = 1,
e a terceira equação é
x + y = b.
Para o sistema ser consistente, deve valer
1 = b.
Com a=0 e b=1 o posto da matriz de coeficientes cai para 2, temos duas equações independentes em três incógnitas, gerando infinitas soluções.

Resposta

d) a=0 e b=1.

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