O sistema \left\{\begin{array}{l}k^{2} x-y=0 \\\ x+k y=0\end{array}\right. nas incógnitas x e y:
a) é impossível se k \neq-1
b) admite apenas a solução trivial se k=1
c) é possível e indeterminado se k=-1
d) é impossível para todo k real

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo em x\) e \(y\) que depende do parâmetro \(k\): \[\begin{cases} k^{2}x - y = 0,\\\ x + k\,y = 0.
O que precisamos é usar o critério do determinante para sistemas lineares: se o determinante da matriz dos coeficientes for não nulo, a única solução é a trivial ((0,0)]; se for zero, ou não há solução ou há infinitas.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix} k^2 & -1\\\\ 1 & k \end{pmatrix}, \quad \det(A) = k^2\cdot k - (-1)\cdot1 = k^3 + 1.

Passo 3

Se \det(A)\neq 0, isto é, k^3+1\neq 0, então o sistema admite apenas a solução trivial (x,y)=(0,0). O fato de k=1 é apenas um caso particular desse cenário, mas vale para todo k tal que k^3+1\neq 0.

Passo 4

O determinante anula-se quando
k^3 + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad k^3 = -1 \quad\Longrightarrow\quad k = -1
(no conjunto dos reais, essa é a única raiz).

Passo 5

Para k=-1\), o sistema fica \[\begin{cases} 1\cdot x - y = 0,\\\ x - y = 0, \end{cases}
que é a mesma equação repetida. Logo há infinitas soluções, dadas por (x,y)=(t,t)\] para qualquer real \(t.

Passo 6

Comparando com as alternativas:
  • Não é impossível para k\neq -1 (há sempre a trivial).
  • Não se restringe a k=1.
  • Para k=-1 há infinitas soluções.
  • Não é impossível para todo k.
    A única que bate é a (c).

Resposta

c) é possível e indeterminado se k=-1.

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