(CESGRANRIO-RJ) Utiliza-se como termômetro um recipiente cujo volume é constante e que contém um gás cuja pressão é medida nas seguintes situações:
I) Com o recipiente em equilíbrio térmico com uma mistura de água e gelo (também em equilíbrio térmico) Pressão do gás 300 mmHg
II) Com o recipiente em equilíbrio térmico com vapor de água em ebulição (sob pressão normal) 420 mmHg
III) Com o recipiente em equilíbrio térmico com óleo aquecido 480 mmHg
Na escala Celsius desse termômetro a temperatura do óleo é:
a) 60^{\circ} \mathrm{C}
b) 100^{\circ} \mathrm{C}
c) 120^{\circ} \mathrm{C}
d) 150^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • O termômetro é um recipiente de volume constante contendo um gás.
    • I) Com água e gelo em equilíbrio térmico (ponto de gelo, \,0^\circ\mathrm{C}\,) a pressão medida é \;300\\ \mathrm{mmHg}.
    • II) Com vapor de água em ebulição à pressão normal (ponto de ebulição, \,100^\circ\mathrm{C}\,) a pressão medida é \;420\\ \mathrm{mmHg}.
    • III) Com óleo aquecido em equilíbrio térmico a pressão medida é \;480\\ \mathrm{mmHg}.
  • O que o enunciado pede:
    • Na escala Celsius desse termômetro, qual é a temperatura do óleo? (escolhas: (a)\,60^\circ\mathrm{C}, (b)\,100^\circ\mathrm{C}, \text{(c)}\,120^\circ\mathrm{C}, (d)\,150^\circ\mathrm{C}.)

Passo 2

Conceito físico/matemático que vamos usar (explicado de forma didática):
  • Para um gás ideal em volume constante, a pressão é proporcional à temperatura absoluta (Kelvin). Em forma de fórmula: P = k\,T,onde P é a pressão, T é a temperatura absoluta em Kelvin, e k é uma constante que depende da quantidade de gás e do volume.
  • A temperatura absoluta T e a temperatura na escala Celsius t estão relacionadas por T = t + 273.(aqui uso 273 como o deslocamento aproximado entre Kelvin e Celsius; o raciocínio vale com 273{,}15 também.)
  • Substituindo, obtemos que a pressão é uma função linear de t: P = k\,(t + 273) = (k\cdot 273) + k\,t.Ou seja, podemos escrever de forma prática P = a + b\,t,com a = k\cdot 273 (intercepto) e b = k (coeficiente angular). Isso significa que, ao medir a pressão em dois pontos de referência (aqui 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}), podemos determinar a e b e depois obter t para qualquer pressão lida.

Passo 3

Usar os pontos de calibração para achar a e b.
  • No ponto gelo: t=0^\circ\mathrm{C} e P=300\\ \mathrm{mmHg}. Substituindo em P=a+b\,t: 300 = a + b\cdot 0 \quad\Rightarrow\quad a = 300.

Passo 4

Determinar b usando o ponto de ebulição.
  • No ponto ebulição: t=100^\circ\mathrm{C} e P=420\\ \mathrm{mmHg}. Substituindo: 420 = a + b\cdot 100.Já sabemos a=300, então 420 = 300 + 100\,b \quad\Rightarrow\quad 100\,b = 120 \quad\Rightarrow\quad b = \frac{120}{100} = 1{,}2\\ \mathrm{mmHg/^\circ C}.

Passo 5

Agora calculamos a temperatura do óleo a partir da pressão medida P=480\\ \mathrm{mmHg}.
  • Usamos a fórmula P = a + b\,t e resolvemos para t: t = \frac{P - a}{b}.Substituindo os valores: t = \frac{480 - 300}{1{,}2} = \frac{180}{1{,}2}.Fazer a divisão passo a passo: dividir por 1{,}2 é o mesmo que multiplicar por \tfrac{10}{12}=\tfrac{5}{6} invertido; mais direto, \frac{180}{1{,}2} = 180 \times \frac{10}{12} = 180 \times \frac{5}{6} = 30 \times 5 = 150.Assim t = 150^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: beleza — usamos duas leituras de calibração para achar a relação linear entre pressão e escala Celsius do termômetro (porque a pressão é linear na temperatura absoluta, então também linear em Celsius). Com isso resolvemos de forma direta e rápida. Vai dar tudo certo na prova — você já entendeu o passo essencial: calibrar com dois pontos fixa a reta P(t), depois é só interpolar/extrapolar.

Resposta

d) 150^\circ\mathrm{C}

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