(UF-RS) Um termômetro foi graduado segundo uma escala arbitrária X de tal modo que correspondam 20^{\circ} \mathrm{X} e 70^{\circ} \mathrm{X} a 0^{\circ} \mathrm{C} e 100^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. A temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C} corresponde a:
a) 35^{\circ} \mathrm{X}
b) 40^{\circ} \mathrm{X}
c) 45^{\circ} \mathrm{X}
d) 50^{\circ} \mathrm{X}

Passo 1

O enunciado dá duas correspondências entre as escalas Celsius e a escala arbitrária X:
  • 20^{\circ}\mathrm{X} corresponde a 0^{\circ}\mathrm{C}.
  • 70^{\circ}\mathrm{X} corresponde a 100^{\circ}\mathrm{C}.
A pergunta é: a que valor em ^{\circ}\mathrm{X} corresponde 50^{\circ}\mathrm{C}? As alternativas são: (a) 35^{\circ}\mathrm{X}, (b) 40^{\circ}\mathrm{X}, (c) 45^{\circ}\mathrm{X}, (d) 50^{\circ}\mathrm{X}.

Passo 2

Raciocínio sobre relação entre escalas. Qualquer escala de temperatura obtida por reescalar linearmente a escala Celsius pode ser escrita na forma
X = a\,T + b,
onde T é a temperatura em ^{\circ}\mathrm{C}, X é a temperatura na escala ^{\circ}\mathrm{X}, a é o fator de escala (quanto varia X quando T varia) e b é o deslocamento (valor de X quando T=0). Vou usar essa fórmula porque uma escala termómetrica relacionada por dois pontos é sempre uma transformação afim (linear com deslocamento).

Passo 3

Usar os dados fornecidos para obter a e b. Substituindo os dois pares (T,X):
Para T=0 e X=20:
20 = a\cdot 0 + b \quad\Rightarrow\quad b = 20.
Para T=100 e X=70:
70 = a\cdot 100 + b.

Passo 4

Substituir b=20 na segunda equação e resolver para a:
70 = 100a + 20 \quad\Rightarrow\quad 100a = 70-20 = 50 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{50}{100} = \tfrac{1}{2}.
Portanto a relação entre as escalas é
X = \tfrac{1}{2}\,T + 20.

Passo 5

Calcular X quando T=50. Substituindo na fórmula:
X = \tfrac{1}{2}\cdot 50 + 20 = 25 + 20 = 45.
Uma interpretação rápida: os 100^{\circ}\mathrm{C} correspondem a um aumento de 70-20=50^{\circ}\mathrm{X}, logo cada 1^{\circ}\mathrm{C} vale 0{,}5^{\circ}\mathrm{X}; como 50^{\circ}\mathrm{C} está a 50 graus acima de 0^{\circ}\mathrm{C}, soma-se 50\times0{,}5=25 a 20^{\circ}\mathrm{X}, dando 45^{\circ}\mathrm{X}.

Resposta

c) 45^{\circ}\mathrm{X}

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