(CESPE / CEBRASPE - 2025 - TRF) A respeito de amostras e distribuição de probabilidade, julgue o item subsequente: “A distribuição t de Student é utilizada para inferências estatísticas, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos”. Alternativas
( ) Certo ( ) Errado

Passo 1

O enunciado apresenta a seguinte afirmação a ser julgada como verdadeira ou falsa:
“A distribuição t de Student é utilizada para inferências estatísticas, quando se tem amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos”.
As alternativas são:
( ) Certo ( ) Errado
O que se pede: decidir se a frase está correta ou incorreta.

Passo 2

O que é a distribuição t de Student — definição e quando ela aparece exatamente.
  • Considere uma amostra aleatória X_1,\dots,X_n de uma população normal com média \mu e variância \sigma^2 (aqui \sigma é a variância populacional).
  • A média amostral é \bar X = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
  • O desvio padrão amostral (estimador de \sigma) é dado por
S = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)^2 }.
  • Se a população é normal e \sigma é desconhecida, então a estatística
T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{n}}
segue a distribuição de Student com n-1 graus de liberdade, ou seja T\sim t_{\,n-1}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar X: média da amostra (estimador de \mu);
  • \mu: média populacional (parâmetro que se quer testar/estimar);
  • S: desvio padrão amostral (estimador da \sigma desconhecida);
  • n: tamanho da amostra;
  • n-1: graus de liberdade da t-de-Student no caso acima.
Portanto, a condição essencial para usar a tabela/ distribuição t clássica é que a variância populacional seja desconhecida e que, para amostras pequenas, a população seja aproximadamente normal.

Passo 3

Por que aparece a regra prática “30” e o que ela significa (ou não significa).
  • A referência a 30 é uma regra empírica: pela Teoria do Limite Central, quando n é “grande” a distribuição da média amostral \bar X fica aproximadamente normal, mesmo que a população original não seja perfeitamente normal. Muitas vezes usa-se n\ge 30 como critério prático para achar que a aproximação normal é razoável.
  • Quando n é grande, S tende a ser uma boa aproximação de \sigma e a distribuição t_{n-1} fica muito próxima da normal padrão N(0,1). Assim, em amostras grandes a diferença prática entre usar t ou z (normal) é pequena.
  • Porém, a distribuição t NÃO é usada por uma condição rígida "se n<30 então usar t"; a razão formal de uso é a desconhecimento de \sigma e a (possível) necessidade de levar em conta a variabilidade adicional que surge ao substituir \sigma por S.
Em resumo: o número 30 é uma regra de bolso para decisões práticas sobre aproximação normal, não uma definição teórica da aplicabilidade da t.

Passo 4

Casos concretos que mostram por que a afirmação do enunciado é incorreta
  • Caso A (mostra que o enunciado é restritivo demais): suponha n=50 e \sigma é desconhecida. A situação correta é usar a estatística T=(\bar X-\mu)/(S/\sqrt{n}) que tem distribuição aproximadamente t_{49} (na prática, para n=50 essa t já está muito próxima de normal). Logo usa-se t (ou normal aproximada) mesmo com n>30 — contrariando a ideia de que t só se usa quando n<30.
  • Caso B (mostra que o enunciado é incompleto): suponha n=20 mas a variância populacional \sigma é conhecida e a população é normal. Então, para testar média usa-se a estatística Z=(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) com distribuição normal padrão, não a t. Ou seja, não é apenas o tamanho pequeno que determina uso de t.
  • Caso C (normalidade): se n é pequeno e a população não é aproximadamente normal, a distribuição t não garante validade; portanto, para amostras pequenas a suposição de normalidade da população é crucial.
Esses exemplos mostram que o critério correto envolve: (i) desconhecimento de \sigma, (ii) suposições sobre a forma da população (especialmente para amostras pequenas), e (iii) a aproximação pelo limite central quando n é grande. O simples “ n<30” não é a condição teórica correta.

Passo 5

Resposta didática final — como escrever corretamente a ideia na prova
  • Frase correta (mais precisa): “A distribuição t de Student é usada para inferência sobre a média quando a variância populacional \sigma^2 é desconhecida; para amostras pequenas é importante que a população seja aproximadamente normal; para amostras grandes (regra prática: n por volta de 30 ou mais) a distribuição t e a normal são muito próximas.”
  • Frase incorreta (a do enunciado): afirmar que a t é usada simplesmente quando n<30 é uma simplificação exagerada e pode levar a erros.

Resposta

Errado

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