(Instituto Access - 2024) Uma teoria muito importante, diz que é uma teoria da probabilidade que afirma que quanto maior for o tamanho da amostra, mais perto a média das amostras chegará do valor esperado. Esse conceito trata-se de qual teoria:
a) Teoria dos Grandes número.
b) Teoria das filas.
c) Teoria de Bayes.
d) Teoria Central do Limite.
Passo 1
O enunciado diz que existe uma teoria da probabilidade que afirma: “quanto maior for o tamanho da amostra, mais perto a média das amostras chegará do valor esperado”. Pergunta qual teoria corresponde a essa afirmação. As alternativas fornecidas são:
a) Teoria dos Grandes número.
b) Teoria das filas.
c) Teoria de Bayes.
d) Teoria Central do Limite.
Passo 2
Vou explicar matematicamente o que significa “a média das amostras chega perto do valor esperado”, porque aí fica claro qual teoria é a correta.
Considere variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas \,X_1,X_2,\dots,X_n, cada uma com valor esperado \mu = \mathbb{E}[X_i] (assumimos que esse valor existe). Definimos a média amostral como
\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i.
A afirmação do enunciado é que, quando n cresce, \bar{X}_n fica cada vez mais próxima de \mu. Em teoria da probabilidade isso é formalizado pela Lei dos Grandes Números, que tem duas versões comuns:
Lei Fraca dos Grandes Números: \bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu quando n\to\infty. Isso quer dizer que, para qualquer \varepsilon>0,
ou seja, a probabilidade de a média amostral se afastar de \mu por mais de \varepsilon tende a zero.
Lei Forte dos Grandes Números: \bar{X}_n \xrightarrow{\text{a.s.}} \mu quando n\to\infty. Isso significa que, com probabilidade 1, a sequência \bar{X}_n converge numericamente para \mu.
Em linguagem simples: conforme aumentamos n, a média das observações tende a estabilizar-se no valor esperado \mu. Um exemplo concreto e famoso: ao lançar uma moeda honesta muitas vezes, a frequência relativa de caras (média das observações indicadoras) tende para 1/2.
Passo 3
Agora explico rapidamente por que as outras alternativas não são o que o enunciado descreve.
Alternativa d) Teoria Central do Limite: o Teorema Central do Limite (TCL) diz que a soma (ou média) padronizada das X_i tende a uma distribuição normal quando n é grande. Em fórmula:
onde \sigma^2=\mathrm{Var}(X_i). O TCL fala sobre a forma da distribuição das flutuações em torno de \mu (ou seja, diz que as variações têm aproximadamente distribuição normal para grande n), não é a formulação direta que afirma que a média converge para o valor esperado — essa afirmação é precisamente a Lei dos Grandes Números. O TCL complementa a L.G.N. explicando a velocidade e o formato das flutuações (escala 1/\sqrt{n}), mas não é a “teoria” mencionada no enunciado.
Alternativa c) Teoria de Bayes: refere-se ao teorema de Bayes e à inferência bayesiana (atualizar crenças com evidência), não à convergência da média amostral ao valor esperado.
Alternativa b) Teoria das filas: trata de modelos de espera, chegadas e atendimentos (filas), sem relação com a convergência da média amostral ao valor esperado.
Passo 4
Conclusão: a descrição do enunciado corresponde exatamente à Lei dos Grandes Números (nome popularmente “Teoria dos Grandes Números” na lista), que formaliza a ideia de que a média amostral tende ao valor esperado quando a amostra cresce.