Challenger Deep, na Fossa das Marianas - no oceano Pacífico - é o local mais profundo conhecido nos oceanos da Terra, a
abaixo do nível do mar. Tomando a densidade da água do mar, à pressão atmosférica (
), como
e seu módulo volumétrico como
, com
, calcule a pressão e a densidade da água do mar no fundo do Challenger Deep. Desconsidere variações de temperatura da água e da salinidade com a profundidade. É uma boa aproximação para tratar a densidade da água do mar como essencialmente constante?
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede (interpretações feitas para resolver sem perguntas extras):
- Profundidade do Challenger Deep: vou interpretar
do enunciado como (valor típico conhecido é ). - Pressão atmosférica na superfície:
(está indicada no enunciado, interpretei como ). - Densidade da água do mar à pressão atmosférica:
. (O enunciado escreveu , interpretei isso como , que é o valor físico correto para água do mar). - Módulo volumétrico dada a pressão:
com e (sem unidade, isto é ). - Aceleração da gravidade: usarei
.
O enunciado pede:
- Calcular a pressão da água do mar no fundo (na profundidade
). - Calcular a densidade da água do mar no fundo.
- Responder se é boa aproximação tratar a densidade como essencialmente constante.
Passo 2
Princípio físico básico: equilíbrio hidrostático e definição do módulo volumétrico.
- Equilíbrio hidrostático: a variação de pressão com a profundidade (eixo
apontando para baixo) é dada por
onde
é a pressão local,
é a densidade local (pode depender de
) e
é a gravidade.
- Módulo volumétrico (bulk modulus)
: ele mede a resistência à compressão e é definido por
Como
(volume específico) e
estão relacionados por
, pode mostrar-se (é uma identidade usual) que
Esta forma útil relaciona mudanças de pressão com mudanças de densidade diretamente.
Passo 3
Relacionando variações de pressão e densidade usando
.
Da relação obtemos
Da relação
Integrando entre superfície (estado 0) e o ponto de pressão
no fundo:
Como
foi dado linearmente por
, a integral é elementar. Faço a substituição
. Então
Logo
ou seja, isolando
,
Passo 4
Equação diferencial para pressão em função da profundidade e integração.
Substituindo na equação hidrostática
obtemos
Substituindo
Separamos variáveis para integrar de
(superfície) a
(fundo) e
a
:
Novamente uso a substituição
, com
. Assim
onde
. A integral é
(para
). Simplificando os fatores obtemos a expressão
Passo 5
Resolver para
(inversão da relação) e escrever
em função de
.
Defino
Defino
Da equação do passo anterior vem
Recordando
, obtemos
Então a pressão no fundo é
E a densidade no fundo, usando
, é
Estas fórmulas expressam diretamente
e
em termos dos dados
.
Passo 6
Aplicar numericamente as fórmulas com os valores dados.
Constantes usadas (todas em SI):
Constantes usadas (todas em SI):
Calculo
:
Faço as contas por partes:
Dividindo por
:
logo
Passo 7
Calcular
e
numéricos a partir de
.
Primeiro os expoentes numéricos:
Primeiro os expoentes numéricos:
Calculo
:
Assim
Pressão no fundo:
Calculo
. Então
Logo
Em unidades mais usuais:
Densidade no fundo:
Passo 8
Comparação com a aproximação de densidade constante e conclusão prática.
- Aproximação de densidade constante (usar
em toda a coluna) dá a pressão
- Diferença entre modelo compressível (resolvido acima) e constante:
que é cerca de
do valor final.
- A densidade aumentou de
para , um acréscimo de cerca de .
Conclusão física e prática: para estimativas grosseiras a aproximaçãoconstante produz um erro pequeno (ordem de na pressão total nesse caso extremo), portanto pode ser considerada uma boa aproximação para cálculos rápidos. Para precisão maior (algumas percentagens ou para propriedades que dependam fortemente de pressão local) deve-se usar o modelo compressível como fizemos.
Resposta
Sim — tratar