Challenger Deep, na Fossa das Marianas - no oceano Pacífico - é o local mais profundo conhecido nos oceanos da Terra, a 10,922 \mathrm{~km} abaixo do nível do mar. Tomando a densidade da água do mar, à pressão atmosférica ( \rho_{0}=101,303 \mathrm{kPa} ), como 1.024 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e seu módulo volumétrico como B(p)=B_{0}+6,67\left(p-p_{0}\right), com B_{0}=2,19 \cdot 10^{9} P a, calcule a pressão e a densidade da água do mar no fundo do Challenger Deep. Desconsidere variações de temperatura da água e da salinidade com a profundidade. É uma boa aproximação para tratar a densidade da água do mar como essencialmente constante?

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede (interpretações feitas para resolver sem perguntas extras):
  • Profundidade do Challenger Deep: vou interpretar 10{,}922\\ \mathrm{km} do enunciado como 10{,}922\\ \mathrm{m} (valor típico conhecido é 10{,}922\\ \mathrm{m}=10{,}922\\ \mathrm{m}).
  • Pressão atmosférica na superfície: p_{0}=101\,303\\ \mathrm{Pa} (está indicada no enunciado, interpretei como 101{,}303\\ \mathrm{Pa}).
  • Densidade da água do mar à pressão atmosférica: \rho_{0}=1024\\ \mathrm{kg/m^{3}}. (O enunciado escreveu 1{,}024\\ \mathrm{kg/m^{3}}, interpretei isso como 1{,}024\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}=1024\\ \mathrm{kg/m^{3}}, que é o valor físico correto para água do mar).
  • Módulo volumétrico dada a pressão: B(p)=B_{0}+a\,(p-p_{0}) com B_{0}=2{,}19\times10^{9}\\ \mathrm{Pa} e a=6{,}67 (sem unidade, isto é dB/dp=6{,}67).
  • Aceleração da gravidade: usarei g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    O enunciado pede:
  1. Calcular a pressão da água do mar no fundo (na profundidade h=10{,}922\\ \mathrm{m}).
  2. Calcular a densidade da água do mar no fundo.
  3. Responder se é boa aproximação tratar a densidade como essencialmente constante.

Passo 2

Princípio físico básico: equilíbrio hidrostático e definição do módulo volumétrico.
  • Equilíbrio hidrostático: a variação de pressão com a profundidade (eixo z apontando para baixo) é dada por
\frac{dp}{dz}=\rho(p)\,g,
onde p é a pressão local, \rho(p) é a densidade local (pode depender de p) e g é a gravidade.
  • Módulo volumétrico (bulk modulus) B: ele mede a resistência à compressão e é definido por
B=-V\frac{dp}{dV}.
Como V (volume específico) e \rho estão relacionados por V\propto 1/\rho, pode mostrar-se (é uma identidade usual) que
B=\rho\,\frac{dp}{d\rho}.
Esta forma útil relaciona mudanças de pressão com mudanças de densidade diretamente.

Passo 3

Relacionando variações de pressão e densidade usando B(p).
Da relação B=\rho\,\dfrac{dp}{d\rho} obtemos
\frac{d\rho}{\rho}=\frac{dp}{B(p)}.
Integrando entre superfície (estado 0) e o ponto de pressão p no fundo:
\ln\!\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)=\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp'}{B(p')}.
Como B(p) foi dado linearmente por B(p)=B_{0}+a\,(p-p_{0}), a integral é elementar. Faço a substituição u=\dfrac{B(p)}{B_{0}}=1+\dfrac{a(p-p_{0})}{B_{0}}. Então
\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp'}{B(p')}=\frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{B(p)}{B_{0}}\right).
Logo
\ln\!\left(\frac{\rho}{\rho_{0}}\right)=\frac{1}{a}\ln\!\left(\frac{B(p)}{B_{0}}\right),
ou seja, isolando \rho,
\rho=\rho_{0}\left(\frac{B(p)}{B_{0}}\right)^{1/a}.

Passo 4

Equação diferencial para pressão em função da profundidade e integração.
Substituindo \rho(p) na equação hidrostática \dfrac{dp}{dz}=\rho(p)g obtemos
\frac{dp}{dz}=g\,\rho_{0}\left(\frac{B(p)}{B_{0}}\right)^{1/a}.
Separamos variáveis para integrar de z=0 (superfície) a z=h (fundo) e p=p_{0} a p=p(h):
h=\int_{0}^{h}dz=\int_{p_{0}}^{p}\frac{dp'}{g\,\rho_{0}}\left(\frac{B_{0}}{B(p')}\right)^{1/a}.
Novamente uso a substituição u=\dfrac{B(p')}{B_{0}}=1+\dfrac{a(p'-p_{0})}{B_{0}}, com dp'=(B_{0}/a)\,du. Assim
h=\frac{B_{0}}{a\,g\,\rho_{0}}\int_{1}^{u_{f}}u^{-1/a}\,du,
onde u_{f}=\dfrac{B(p)}{B_{0}}. A integral é \dfrac{u^{1-1/a}-1}{1-1/a} (para a\neq1). Simplificando os fatores obtemos a expressão
h=\frac{B_{0}}{g\,\rho_{0}(a-1)}\left(u_{f}^{(a-1)/a}-1\right).

Passo 5

Resolver para p (inversão da relação) e escrever \rho em função de h.
Defino
X \equiv 1+\frac{g\,\rho_{0}(a-1)\,h}{B_{0}}.
Da equação do passo anterior vem
u_{f}^{(a-1)/a}=X \quad\Rightarrow\quad u_{f}=X^{a/(a-1)}.
Recordando u_{f}=B(p)/B_{0}, obtemos
B(p)=B_{0}\,X^{a/(a-1)}.
Então a pressão no fundo é
p=p_{0}+\frac{B_{0}}{a}\bigl(X^{a/(a-1)}-1\bigr).
E a densidade no fundo, usando \rho=\rho_{0}u_{f}^{1/a}, é
\rho=\rho_{0}\,X^{1/(a-1)}.
Estas fórmulas expressam diretamente p e \rho em termos dos dados B_{0},a,\rho_{0},p_{0},h,g.

Passo 6

Aplicar numericamente as fórmulas com os valores dados.
Constantes usadas (todas em SI):
h=10\,922\\ \mathrm{m},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}},\quad \rho_{0}=1024\\ \mathrm{kg/m^{3}},
p_{0}=101\,303\\ \mathrm{Pa},\quad B_{0}=2{,}19\times10^{9}\\ \mathrm{Pa},\quad a=6{,}67.
Calculo X:
X=1+\frac{g\,\rho_{0}(a-1)\,h}{B_{0}} =1+\frac{9{,}81\cdot1024\cdot(6{,}67-1)\cdot10922}{2{,}19\times10^{9}}.
Faço as contas por partes:
a-1=5{,}67,
g\,\rho_{0}=9{,}81\cdot1024\approx10045{,}44\\ \mathrm{Pa/m},
g\,\rho_{0}(a-1)\approx10045{,}44\cdot5{,}67\approx56\,957{,}25\\ \mathrm{Pa/m},
g\,\rho_{0}(a-1)\,h\approx56\,957{,}25\cdot10\,922\approx6{,}22087\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Dividindo por B_{0}:
\frac{g\,\rho_{0}(a-1)\,h}{B_{0}}\approx\frac{6{,}22087\times10^{8}}{2{,}19\times10^{9}}\approx0{,}2839,
logo
X\approx1{,}2839.

Passo 7

Calcular p e \rho numéricos a partir de X.
Primeiro os expoentes numéricos:
\frac{a}{a-1}=\frac{6{,}67}{5{,}67}\approx1{,}17622,\qquad \frac{1}{a-1}\approx0{,}17632.
Calculo u_{f}=X^{a/(a-1)}:
u_{f}=1{,}2839^{1{,}17622}\approx1{,}3411.
Assim
B(p)=B_{0}\,u_{f}\approx2{,}19\times10^{9}\cdot1{,}3411\approx2{,}938\times10^{9}\\ \mathrm{Pa}.
Pressão no fundo:
p=p_{0}+\frac{B_{0}}{a}\bigl(u_{f}-1\bigr).
Calculo B_{0}/a\approx\dfrac{2{,}19\times10^{9}}{6{,}67}\approx3{,}284\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}. Então
p-p_{0}\approx3{,}284\times10^{8}\cdot(1{,}3411-1)\approx3{,}284\times10^{8}\cdot0{,}3411\approx1{,}12017\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Logo
p\approx p_{0}+1{,}12017\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}12117\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}\approx1{,}12\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}.
Em unidades mais usuais:
p\approx1{,}12\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}=112{,}1\\ \mathrm{MPa}\approx1{,}121\times10^{3}\\ \text{bar}.
Densidade no fundo:
\rho=\rho_{0}\,X^{1/(a-1)}=1024\cdot1{,}2839^{0{,}17632}\approx1024\cdot1{,}0450\approx1069{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 8

Comparação com a aproximação de densidade constante e conclusão prática.
  • Aproximação de densidade constante (usar \rho=\rho_{0} em toda a coluna) dá a pressão
p_{\text{const}}=p_{0}+\rho_{0}g h =101\,303+1024\cdot9{,}81\cdot10\,922\approx1{,}0972\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}=109{,}7\\ \mathrm{MPa}.
  • Diferença entre modelo compressível (resolvido acima) e constante:
\Delta p\approx112{,}12\\ \mathrm{MPa}-109{,}72\\ \mathrm{MPa}\approx2{,}4\\ \mathrm{MPa},
que é cerca de \dfrac{2{,}4}{112{,}12}\approx2{,}1\% do valor final.
  • A densidade aumentou de 1024\\ \mathrm{kg/m^{3}} para 1069{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}, um acréscimo de cerca de 4{,}5\%.
    Conclusão física e prática: para estimativas grosseiras a aproximação \rho\approx constante produz um erro pequeno (ordem de 2\% na pressão total nesse caso extremo), portanto pode ser considerada uma boa aproximação para cálculos rápidos. Para precisão maior (algumas percentagens ou para propriedades que dependam fortemente de pressão local) deve-se usar o modelo compressível como fizemos.

Resposta

p_{\text{fundo}}\approx1{,}12\times10^{8}\\ \mathrm{Pa} \approx112{,}1\\ \mathrm{MPa} \approx1121\\ \text{bar}\newline
\rho_{\text{fundo}}\approx1069{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}\newline
Sim — tratar \rho como constante é uma boa aproximação para estimativas rápidas (erro na pressão \sim2\% aqui), mas para maior precisão deve-se usar o modelo compressível.

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