A atmosfera de Marte exerce uma pressão de apenas 600 Pa sobre a superfície e tem uma densidade de somente 0,02 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a) Qual é a espessura da atmosfera marciana, considerando que o limite entre a atmosfera e o espaço exterior seja o ponto em que a pressão atmosférica caia a 0,01 \% de seu valor ao nível da superfície?
b) Qual é a pressão atmosférica no fundo do cânion Hellas Planitia, em Marte, a uma profundidade de 7 km ?
c) Qual é a pressão atmosférica no topo do vulcão marciano Olympus Mons, a uma altura de 27 km ?
d) Compare a variação relativa da pressão do ar, \Delta p / p, entre esses dois pontos em Marte e entre os extremos equivalentes na Terra - à beira do Mar Morto, a 400 m abaixo do mar, e o Monte Everest, a 8.850 m de altitude.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (valores tirados do enunciado):
  • Pressão na superfície de Marte: p_0=600\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade do ar na superfície de Marte: \rho_0=0,02\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Limite entre atmosfera e espaço definido por p(z_{\text{lim}})=0{,}01\% de p_0, ou seja p(z_{\text{lim}})=10^{-4}p_0.
  • Profundidade de Hellas Planitia: 7{,}0\\ \mathrm{km} abaixo da superfície média.
  • Altitude do Olympus Mons: 27{,}0\\ \mathrm{km} acima da superfície média.
Perguntas:
a) Calcular a “espessura” da atmosfera marciana, isto é, a altura z_{\text{lim}} para a qual p(z_{\text{lim}})=10^{-4}p_0.
b) Calcular a pressão no fundo do cânion Hellas Planitia (a -7{,}0\\ \mathrm{km}).
c) Calcular a pressão no topo do Olympus Mons (a +27{,}0\\ \mathrm{km}).
d) Comparar a variação relativa \Delta p/p entre esses dois pontos em Marte com a variação relativa entre os extremos equivalentes na Terra: Mar Morto ( -400\\ \mathrm{m}) e Monte Everest ( +8{,}850\\ \mathrm{m}).
Constantes que vou usar (valores padrão):
  • Aceleração da gravidade em Marte: g_M=3{,}71\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Aceleração da gravidade na Terra: g_E=9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Pressão ao nível do mar na Terra: p_{0,E}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade do ar ao nível do mar: \rho_{0,E}=1{,}225\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.

Passo 2

Explicação da hipótese física e das fórmulas que vou usar (aulas rápidas e claras).
  1. Equilíbrio hidrostático e hipótese isoterma
  • A atmosfera em equilíbrio vertical satisfaz a equação hidrostática
\frac{dp}{dz}=-\rho g,
onde p é a pressão, \rho é a densidade local, g é a gravidade e z é a altura.
  • Se assumirmos atmosfera aproximadamente isoterma (temperatura efetivamente constante com a altura, hipótese comum para estimativas grosseiras) e o ar como gás ideal, então \rho e p estão relacionados por
\rho=\frac{p}{R_s T},
onde R_s é a constante do gás específico (não precisamos do seu valor aqui porque vamos eliminar R_s T usando os dados de superfície).
  1. Equação barométrica (resultado)
  • Substituindo \rho na equação hidrostática e separando variáveis obtemos a solução exponencial
p(z)=p_0 \exp\!\left(-\frac{z}{H}\right),
onde H é a altura de escala (scale height), dada por
H=\frac{R_s T}{g}.
  • Importante: podemos calcular H diretamente a partir dos dados de superfície sem conhecer T ou R_s, porque no nível da superfície p_0=\rho_0 R_s T. Logo
H=\frac{R_s T}{g}=\frac{p_0}{\rho_0 g}.
Isto é prático: H é a razão entre a pressão de superfície e \rho_0 g.
  1. Aplicações:
  • Para achar a altura em que a pressão cai a uma fração f de p_0:
p(z)=p_0 f = p_0 e^{-z/H}\quad\Longrightarrow\quad z = -H\ln f.
  • Para alturas positivas/negativas: se z<0 (abaixo da superfície média), o expoente fica positivo e a pressão aumenta: p(z)=p_0 e^{-z/H} com z negativo.
Eu estou a assumir que g é aproximadamente constante com a altura nas faixas consideradas — isso é razoável para estas estimativas.

Passo 3

Calcular a altura de escala H para Marte usando H=\dfrac{p_0}{\rho_0 g_M}.
Substituindo os valores:
H=\frac{600}{0{,}02\cdot 3{,}71}\\ \mathrm{m}.
Faço as contas passo a passo:
0{,}02\cdot 3{,}71 = 0{,}0742,
H=\frac{600}{0{,}0742}\\ \mathrm{m}\approx 8088{,}2\\ \mathrm{m}.
Então a altura de escala marciana é H\approx 8{,}09\\ \mathrm{km}. (Interpretação física rápida: a cada \sim 8{,}1\\ \mathrm{km} a pressão cai por um fator e.)

Passo 4

Resposta da letra (a): espessura até p=10^{-4}p_0.
Usando z=-H\ln f com f=10^{-4}:
z_{\text{lim}} = -H\ln(10^{-4}) = H\ln\!\big(10^{4}\big)=H\cdot 4\ln 10.
Numérico:
\ln 10 \approx 2{,}302585,\quad 4\ln 10\approx 9{,}210340.
z_{\text{lim}}\approx 8088{,}2 \times 9{,}210340\\ \mathrm{m}\approx 74{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{m}=74{,}5\\ \mathrm{km}.
Portanto a “espessura” até 0{,}01\% da pressão de superfície é cerca de 74{,}5\\ \mathrm{km}.

Passo 5

Resposta da letra (b): pressão a 7{,}0\\ \mathrm{km} abaixo da superfície (Hellas Planitia).
Aqui z=-7000\\ \mathrm{m}. Usando p(z)=p_0 \exp(-z/H):
p(-7000)=600\\ \mathrm{Pa}\times \exp\!\left(\frac{7000}{8088{,}2}\right).
Calculo do expoente:
\frac{7000}{8088{,}2}\approx 0{,}8657.
\exp(0{,}8657)\approx 2{,}376.
p(-7000)\approx 600\times 2{,}376 \\ \mathrm{Pa}\approx 1426\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a pressão no fundo de Hellas Planitia é aproximadamente 1{,}43\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Resposta da letra (c): pressão a +27{,}0\\ \mathrm{km} (Olympus Mons).
Aqui z=+27000\\ \mathrm{m}. Usando p(z)=p_0\exp(-z/H):
p(27000)=600\\ \mathrm{Pa}\times \exp\!\left(-\frac{27000}{8088{,}2}\right).
Calculo do expoente:
\frac{27000}{8088{,}2}\approx 3{,}338.
\exp(-3{,}338)\approx 0{,}0356.
p(27000)\approx 600\times 0{,}0356\\ \mathrm{Pa}\approx 21{,}4\\ \mathrm{Pa}.
Portanto a pressão no topo do Olympus Mons é aproximadamente 21{,}4\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

Resposta da letra (d): comparação da variação relativa \Delta p/p entre os dois pontos em Marte e entre as extremidades na Terra.
  1. Definição usada para a variação relativa:
  • Vou definir a variação relativa como a queda fracionária de pressão do ponto de menor altitude (maior pressão) até o ponto de maior altitude (menor pressão), isto é
\frac{\Delta p}{p}\equiv\frac{p_{\text{baixo}}-p_{\text{alto}}}{p_{\text{baixo}}}.
Isto mede a fração da pressão que se perde ao subir do ponto baixo ao ponto alto.
  1. Cálculo para Marte:
  • p_{\text{baixo,M}} = pressão no fundo de Hellas \approx 1426\\ \mathrm{Pa}.
  • p_{\text{alto,M}} = pressão no topo do Olympus \approx 21{,}4\\ \mathrm{Pa}.
\frac{\Delta p}{p}\Big|_{\text{Marte}}=\frac{1426-21{,}4}{1426}\approx\frac{1404{,}6}{1426}\approx 0{,}985.
Isto é, a pressão diminui cerca de 98{,}5\% ao subir de Hellas até Olympus Mons.
  1. Cálculo para a Terra (Mar Morto -400\\ \mathrm{m} e Everest +8850\\ \mathrm{m}):
  • Primeiro estimo a altura de escala terrestre H_E via H_E = p_{0,E}/(\rho_{0,E} g_E):
H_E=\frac{101325}{1{,}225\times 9{,}81}\\ \mathrm{m}\approx 8437\\ \mathrm{m}.
  • Pressão no Mar Morto ( z=-400\\ \mathrm{m}):
p_{\text{DeadSea}}=101325\\ \mathrm{Pa}\times \exp\!\left(\frac{400}{8437}\right).
\frac{400}{8437}\approx 0{,}0474,\quad \exp(0{,}0474)\approx 1{,}0486,
p_{\text{DeadSea}}\approx 101325\times 1{,}0486\\ \mathrm{Pa}\approx 106{,}200\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão no Everest ( z=+8850\\ \mathrm{m}):
p_{\text{Everest}}=101325\\ \mathrm{Pa}\times \exp\!\left(-\frac{8850}{8437}\right).
\frac{8850}{8437}\approx 1{,}049,\quad \exp(-1{,}049)\approx 0{,}3505,
p_{\text{Everest}}\approx 101325\times 0{,}3505\\ \mathrm{Pa}\approx 35{,}530\\ \mathrm{Pa}.
  • Agora a variação relativa na Terra:
\frac{\Delta p}{p}\Big|_{\text{Terra}}=\frac{106{,}200-35{,}530}{106{,}200}\approx\frac{70{,}670}{106{,}200}\approx 0{,}666.
Isto é, a pressão diminui cerca de 66{,}6\% ao subir do nível do Mar Morto até o cume do Everest.
  1. Interpretação comparativa rápida:
  • Em termos relativos (fração perdida), a mudança Marte (≈ 98{,}5\%) é muito maior que a mudança entre Mar Morto e Everest na Terra (≈ 66{,}6\%). Isso acontece porque nas alturas extremas de Marte a pressão já é extremamente pequena comparada ao local profundo: a mesma variação vertical (tens de km) corresponde a muitos fatores de e na exponencial devido à altura de escala ser da mesma ordem, e aqui os pontos extremos em Marte cobrem vários alturas de escala (de -7\\ \mathrm{km} a +27\\ \mathrm{km} são 34\\ \mathrm{km}, ≈ 4{,}2H), enquanto na Terra o intervalo entre -0{,}4\\ \mathrm{km} e 8{,}85\\ \mathrm{km} é ≈ 9{,}25\\ \mathrm{km}, ≈ 1{,}1H_E.

Resposta

a) z_{\text{lim}}\approx 74{,}5\\ \mathrm{km}.
b) p_{\text{Hellas}}\approx 1{,}43\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
c) p_{\text{Olympus}}\approx 21{,}4\\ \mathrm{Pa}.
d) \dfrac{\Delta p}{p}\Big|_{\text{Marte}}\approx 0{,}985 (≈98{,}5%), \qquad \dfrac{\Delta p}{p}\Big|_{\text{Terra}}\approx 0{,}666 (≈66{,}6%).

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