Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{4}+5 x-7}{4 x^{3}-15 x^{2}+2}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^{4}+5x-7}{4x^{3}-15x^{2}+2}.
Informações dadas:
  • O numerador é 3x^{4}+5x-7.
  • O denominador é 4x^{3}-15x^{2}+2.
  • O limite é tomado quando x tende para +\infty.

Passo 2

Estratégia (em palavras simples): quando se trata de limites de frações de polinômios quando x\to\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos “de mais alto poder” de x). Vou comparar os graus (expoentes) do numerador e do denominador e usar isso para simplificar a expressão de forma que fique claro o que cresce mais rápido.

Passo 3

Identificar os graus:
  • O grau do numerador é 4 (visto o termo 3x^{4}).
  • O grau do denominador é 3 (visto o termo 4x^{3}).
Como o grau do numerador é maior que o do denominador (diferença 4-3=1), espera-se que o quociente cresça sem limite (tenda a infinito) — mas vamos mostrar isso com contas explícitas e gentis para a prova.

Passo 4

Divido numerador e denominador por x^{3} (o maior grau do denominador), para deixar explícito o crescimento em x. Esta divisão é válida para x\neq 0; como estamos analisando x\to\infty, os x considerados são positivos e grandes, então tudo certo.
\frac{3x^{4}+5x-7}{4x^{3}-15x^{2}+2} = \frac{x^{3}\!\left(3x+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{7}{x^{3}}\right)}{x^{3}\!\left(4-\dfrac{15}{x}+\dfrac{2}{x^{3}}\right)} = \frac{3x+\dfrac{5}{x^{2}}-\dfrac{7}{x^{3}}}{4-\dfrac{15}{x}+\dfrac{2}{x^{3}}}.
(Expliquei cada passo: extraí x^{3} do numerador e do denominador; ao fatorar, por exemplo 5x = x^{3}\cdot(5/x^{2}), etc.)

Passo 5

Estudar o limite das partes que restaram. Observe que, quando x \to \infty,
\frac{5}{x^{2}}\to 0,\qquad \frac{7}{x^{3}}\to 0,\qquad \frac{15}{x}\to 0,\qquad \frac{2}{x^{3}}\to 0.
Portanto a expressão fica assintoticamente
\frac{3x+\text{(termos que vão a }0)}{4+\text{(termos que vão a }0)}.ãã
Assim, para x grande a fração comporta-se como \dfrac{3x}{4}.

Passo 6

Concluir o comportamento do quociente: como \dfrac{3x}{4}\to +\infty quando x\to +\infty (o coeficiente 3/4 é positivo e x cresce sem limite), a fração original também tende para +\infty. Em linguagem geral: quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite é infinito; o sinal (mais ou menos infinito) é o sinal do quociente dos coeficientes líderes, aqui positivo.

Passo 7

Resumo da técnica para a prova (pequena colinha):
  • Se \deg(\text{num})>\deg(\text{den}) então \lim_{x\to\infty}\dfrac{\text{num}}{\text{den}}=\pm\infty; o sinal é o sinal de \dfrac{a_{\text{lead}}}{b_{\text{lead}}}.
  • Se \deg(\text{num})<\deg(\text{den}) então o limite é 0.
  • Se os graus são iguais, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.
    Isto te salva muito tempo na prova — memorizou e pratica com uns exemplos rapidinho!

Resposta

+\infty

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