Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O limite é tomado quando
tende para .
Passo 2
Estratégia (em palavras simples): quando se trata de limites de frações de polinômios quando
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos “de mais alto poder” de
). Vou comparar os graus (expoentes) do numerador e do denominador e usar isso para simplificar a expressão de forma que fique claro o que cresce mais rápido.
Passo 3
Identificar os graus:
- O grau do numerador é
(visto o termo ). - O grau do denominador é
(visto o termo ).
Como o grau do numerador é maior que o do denominador (diferença
), espera-se que o quociente cresça sem limite (tenda a infinito) — mas vamos mostrar isso com contas explícitas e gentis para a prova.
Passo 4
Divido numerador e denominador por
(o maior grau do denominador), para deixar explícito o crescimento em
. Esta divisão é válida para
; como estamos analisando
, os
considerados são positivos e grandes, então tudo certo.
(Expliquei cada passo: extraí
do numerador e do denominador; ao fatorar, por exemplo
, etc.)
Passo 5
Estudar o limite das partes que restaram. Observe que, quando
,
Portanto a expressão fica assintoticamente
Assim, para
grande a fração comporta-se como
.
Passo 6
Concluir o comportamento do quociente: como
quando
(o coeficiente
é positivo e
cresce sem limite), a fração original também tende para
. Em linguagem geral: quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite é infinito; o sinal (mais ou menos infinito) é o sinal do quociente dos coeficientes líderes, aqui positivo.
Passo 7
Resumo da técnica para a prova (pequena colinha):
- Se
então ; o sinal é o sinal de . - Se
então o limite é . - Se os graus são iguais, o limite é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau.
Isto te salva muito tempo na prova — memorizou e pratica com uns exemplos rapidinho!