Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{7 x^{5}-12 x^{4}+9 x^{3}-2 x^{2}+5 x-7}{5 x^{3}-4 x^{2}-3 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{7x^{5}-12x^{4}+9x^{3}-2x^{2}+5x-7}{5x^{3}-4x^{2}-3x+1}.
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • Numerador: polinômio de grau 5 com termo líder 7x^5.
  • Denominador: polinômio de grau 3 com termo líder 5x^3.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende a +\infty?

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática e simples): quando x\to\infty os termos de menor ordem (com potências menores de x ou com 1/x^k) viram “pequenos” e o comportamento da fração é dominado pelos termos de maior ordem de numerador e denominador. Uma maneira direta é fatorar uma potência de x que aparece no denominador (aqui x^3), cancelar e ver o que sobra. Vou fazer isso passo a passo e explicar por que cada termo desaparece quando x\to\infty.

Passo 3

Fatorar x^3 em numerador e denominador e cancelar. Escrevemos a razão como
\frac{7x^{5}-12x^{4}+9x^{3}-2x^{2}+5x-7}{5x^{3}-4x^{2}-3x+1} =\frac{x^{3}\bigl(7x^{2}-12x+9-\tfrac{2}{x}+\tfrac{5}{x^{2}}-\tfrac{7}{x^{3}}\bigr)} {x^{3}\bigl(5- \tfrac{4}{x}-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)}.
Cancelando x^3 (válido para x\neq0, e estamos olhando x\to\infty), obtemos
\frac{7x^{2}-12x+9-\tfrac{2}{x}+\tfrac{5}{x^{2}}-\tfrac{7}{x^{3}}} {5- \tfrac{4}{x}-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora analisar o comportamento de cada parte quando x\to\infty. Lembrete útil e justificativa:
  • Para qualquer inteiro k>0 vale \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{k}}=0. Intuição: conforme x cresce muito, 1/x^k fica cada vez menor.
    Aplicando isso aos termos acima:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(-\tfrac{2}{x}+\tfrac{5}{x^{2}}-\tfrac{7}{x^{3}}\Bigr)=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\Bigl(- \tfrac{4}{x}-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{1}{x^{3}}\Bigr)=0.

Passo 5

Assim, ao passar ao limite, a expressão fica (formalmente)
\lim_{x\to\infty}\frac{7x^{2}-12x+9-\tfrac{2}{x}+\tfrac{5}{x^{2}}-\tfrac{7}{x^{3}}} {5- \tfrac{4}{x}-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{1}{x^{3}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{7x^{2}-12x+9+o(1)}{5+o(1)},
onde o(1) indica termos que tendem a 0 quando x\to\infty.

Passo 6

Agora observe o numerador simplificado: \;7x^{2}-12x+9\;. Para x\to\infty esse polinômio tem comportamento dominado por 7x^{2} (o termo de maior grau). Como o coeficiente de x^{2} é 7>0, temos
\lim_{x\to\infty}(7x^{2}-12x+9)=+\infty.
Ao mesmo tempo, o denominador tende a 5, um número positivo:
\lim_{x\to\infty}\bigl(5- \tfrac{4}{x}-\tfrac{3}{x^{2}}+\tfrac{1}{x^{3}}\bigr)=5.

Passo 7

Quando uma fração tem numerador que tende a +\infty e denominador que tende a um número positivo não nulo, a fração tende a +\infty. Podemos ver de forma ainda mais direta usando os termos líderes: para x grande a razão se aproxima de
\frac{7x^{2}}{5}=\frac{7}{5}x^{2},
e \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{7}{5}x^{2}=+\infty. Portanto o limite da fração original é +\infty.

Resposta

+\infty

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