Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas (retiradas do enunciado):
- Numerador: polinômio de grau
com termo líder . - Denominador: polinômio de grau
com termo líder .
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandotende a ?
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática e simples): quando
os termos de menor ordem (com potências menores de
ou com
) viram “pequenos” e o comportamento da fração é dominado pelos termos de maior ordem de numerador e denominador. Uma maneira direta é fatorar uma potência de
que aparece no denominador (aqui
), cancelar e ver o que sobra. Vou fazer isso passo a passo e explicar por que cada termo desaparece quando
.
Passo 3
Fatorar
em numerador e denominador e cancelar. Escrevemos a razão como
Cancelando
(válido para
, e estamos olhando
), obtemos
Passo 4
Agora analisar o comportamento de cada parte quando
. Lembrete útil e justificativa:
- Para qualquer inteiro
vale . Intuição: conforme cresce muito, fica cada vez menor.
Aplicando isso aos termos acima:
Passo 5
Assim, ao passar ao limite, a expressão fica (formalmente)
onde
indica termos que tendem a
quando
.
Passo 6
Agora observe o numerador simplificado:
. Para
esse polinômio tem comportamento dominado por
(o termo de maior grau). Como o coeficiente de
é
, temos
Ao mesmo tempo, o denominador tende a
, um número positivo:
Passo 7
Quando uma fração tem numerador que tende a
e denominador que tende a um número positivo não nulo, a fração tende a
. Podemos ver de forma ainda mais direta usando os termos líderes: para
grande a razão se aproxima de
e
. Portanto o limite da fração original é
.