Chama-se função racional toda função do tipo \frac{f(x)}{g(x)}, onde f(x) e g(x) são funções polinomiais e g(x) \neq 0. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 x^{2}-9}{2 x^{3}-5 x^{2}-3 x+9}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{6x^{2}-9}{2x^{3}-5x^{2}-3x+9}.
Informações dadas:
  • Numerador: 6x^{2}-9 (polinômio de grau 2).
  • Denominador: 2x^{3}-5x^{2}-3x+9 (polinômio de grau 3).
    A pergunta específica é: qual é o valor do limite quando x tende a +\infty?

Passo 2

Ideia geral (fórmula útil para provas). Para uma função racional \dfrac{f(x)}{g(x)} com f e g polinômios, compare os graus:
  • Se o grau de f for menor que o grau de g, o limite quando x\to\infty é 0.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder de f dividido pelo coeficiente líder de g).
  • Se o grau de f for maior que o de g, o limite é \pm\infty (o sinal depende dos coeficientes líderes e do sentido de x\to\infty).
Por que isso vale? Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (a do polinômio de maior grau). Assim, os termos com potências menores ficam com fatores 1/x^{k} que tendem a 0 quando x\to\infty, deixando apenas os termos dominantes.

Passo 3

Aplicando a técnica ao limite dado: o maior expoente entre numerador e denominador é 3 (do denominador). Então dividimos numerador e denominador por x^{3}. Escrevendo explicitamente:
\frac{6x^{2}-9}{2x^{3}-5x^{2}-3x+9} = \frac{\dfrac{6x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{9}{x^{3}}}{\dfrac{2x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{5x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{3x}{x^{3}}+\dfrac{9}{x^{3}}}.

Passo 4

Simplificando cada fração:
\frac{6x^{2}-9}{2x^{3}-5x^{2}-3x+9} = \frac{\dfrac{6}{x}-\dfrac{9}{x^{3}}}{2-\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x^{2}}+\dfrac{9}{x^{3}}}.
Agora consideramos o limite termo a termo quando x\to\infty. Lembrando que para qualquer k>0 vale \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to\infty, temos:
  • \dfrac{6}{x}\to 0,
  • \dfrac{9}{x^{3}}\to 0,
  • \dfrac{5}{x}\to 0,
  • \dfrac{3}{x^{2}}\to 0,
  • \dfrac{9}{x^{3}}\to 0.
Portanto o numerador tende a 0-0=0 e o denominador tende a 2-0-0+0=2.

Passo 5

Concluindo:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{6x^{2}-9}{2x^{3}-5x^{2}-3x+9} = \frac{0}{2}=0.
Interpretação rápida: como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), a função decai para 0 quando x\to\infty. Isso é útil para usar em provas: basta comparar os graus e, se for o caso, justificar dividindo pela maior potência.

Resposta

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