Chama-se função racional toda função do tipo
, onde
e
são funções polinomiais e
. Calcule os limites de cada função racional a seguir:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- Numerador:
(polinômio de grau ). - Denominador:
(polinômio de grau ).
A pergunta específica é: qual é o valor do limite quandotende a ?
Passo 2
Ideia geral (fórmula útil para provas). Para uma função racional
com
e
polinômios, compare os graus:
- Se o grau de
for menor que o grau de , o limite quando é . - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (coeficiente líder de
dividido pelo coeficiente líder de ). - Se o grau de
for maior que o de , o limite é (o sinal depende dos coeficientes líderes e do sentido de ).
Por que isso vale? Uma forma prática e rigorosa é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (a do polinômio de maior grau). Assim, os termos com potências menores ficam com fatores
que tendem a
quando
, deixando apenas os termos dominantes.
Passo 3
Aplicando a técnica ao limite dado: o maior expoente entre numerador e denominador é
(do denominador). Então dividimos numerador e denominador por
. Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Simplificando cada fração:
Agora consideramos o limite termo a termo quando
. Lembrando que para qualquer
vale
quando
, temos:
-
, -
, -
, -
, -
.
Portanto o numerador tende a
e o denominador tende a
.
Passo 5
Concluindo:
Interpretação rápida: como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
), a função decai para
quando
. Isso é útil para usar em provas: basta comparar os graus e, se for o caso, justificar dividindo pela maior potência.