As chamadas telefônicas chegam a uma delegacia de polícia à uma taxa de 8 chamadas por hora, em dias úteis.
a) Quantas chamadas de emergência são esperadas em um período de 15 minutos?
b) Qual a probabilidade de nenhuma chamada em um período de 15 minutos?
c) Qual a probabilidade de ocorrer pelo menos duas chamadas no período de 15 minutos?
d) Qual a probabilidade de ocorrer exatamente duas chamadas em 20 minutos?

Passo 1

O enunciado nos diz que as chamadas chegam segundo um processo de Poisson com taxa \lambda = 8 chamadas por hora em dias úteis. Precisamos usar que, num intervalo de duração t horas, o número de chamadas X é \text{Poisson}(\mu) com \mu = \lambda t e
P(X=k) = \frac{e^{-\mu}\,\mu^k}{k!},
além de que o valor esperado é \mathbb{E}[X]=\mu.

Passo 2

Para (a), o período é de 15 minutos, isto é, t = 15/60 = 1/4 hora. Logo
\mu = \lambda\,t = 8 \times \frac14 = 2.
O número médio de chamadas esperadas em 15 minutos é \mu = 2.

Passo 3

Para (b), queremos a probabilidade de nenhuma chamada em 15 minutos, isto é k=0 com \mu=2:
P(X=0) = \frac{e^{-2}\,2^0}{0!} = e^{-2}.

Passo 4

Para (c), queremos P(X\ge2) em 15 minutos. Usamos
P(X\ge2) = 1 - P(X=0) - P(X=1).
Já temos P(X=0)=e^{-2} e
P(X=1) = \frac{e^{-2}\,2^1}{1!} = 2e^{-2}.
Logo
P(X\ge2) = 1 - \bigl(e^{-2} + 2e^{-2}\bigr) = 1 - 3e^{-2}.

Passo 5

Para (d), o período é de 20 minutos, isto é t = 20/60 = 1/3 hora. Então
\mu = 8 \times \frac13 = \frac83.
Queremos P(X=2):
P(X=2) = \frac{e^{-\frac83}\,\bigl(\frac83\bigr)^2}{2!} = e^{-\frac83}\,\frac{\bigl(\tfrac83\bigr)^2}{2}.

Resposta

(a) 2 chamadas em média.
(b) e^{-2}.
(c) 1 - 3e^{-2}.
(d) e^{-\frac83}\,\dfrac{\bigl(\tfrac83\bigr)^2}{2}.

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