(Sheldon Ross) O jogo de azar descrito a seguir, conhecido como roda da fortuna, é bastante popular em muitos parques de diversões e cassinos. Um jogador aposta em um número de 1 a 6. Três dados são então lançados, e se o número apostado sair i vezes, i=1,2,3, então o jogador ganha i unidades; se o número apostado não sair em nenhum dos dados, então o jogador perde 1 unidade. Este jogo é justo para o jogador? (Na realidade, o jogo é jogado-girando-se uma roleta que cai em um número de 1 a 6 , mas essa variante é matematicamente equivalente à versão dos dados.)

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que se lança três dados justos e o jogador ganha i unidades se o número escolhido sai exatamente i vezes i=1,2,3 e perde 1 unidade se não sair nenhuma vez. O conteúdo aqui é calcular a esperança (valor esperado) de um jogo discreto, usando a distribuição binomial com parâmetro de sucesso p=1/6 e n=3 lançamentos.

Passo 2

Seja X o número de vezes que o valor apostado aparece em três lançamentos. Então
P(X=k)=\binom{3}{k}\Bigl(\tfrac{1}{6}\Bigr)^{k}\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^{3-k},\quad k=0,1,2,3.
Em particular,
P(X=0)=\Bigl(\tfrac{5}{6}\Bigr)^3=\frac{125}{216},\quad P(X=1)=3\cdot\frac{1}{6}\cdot\Bigl(\frac{5}{6}\Bigr)^2=\frac{75}{216},
P(X=2)=3\cdot\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^2\cdot\frac{5}{6}=\frac{15}{216},\quad P(X=3)=\Bigl(\frac{1}{6}\Bigr)^3=\frac{1}{216}.

Passo 3

A remuneração do jogador é +k unidades quando X=k para k=1,2,3, e -1 unidade quando X=0. Logo a esperança E do ganho é
E=\sum_{k=1}^{3}k\,P(X=k)\;+\;(-1)\,P(X=0).

Passo 4

Substituindo os valores de P(X=k), temos
E =1\cdot\frac{75}{216}+2\cdot\frac{15}{216}+3\cdot\frac{1}{216} \;-\;1\cdot\frac{125}{216} =\frac{75+30+3-125}{216} =-\frac{17}{216}.

Passo 5

O valor esperado é -17/216\approx -0{,}079, ou seja, o jogador perde em média cerca de 0{,}08 unidades por jogada. Portanto, o jogo não é justo para o jogador.

Resposta

O valor esperado por jogada é -\frac{17}{216}, logo o jogo não é justo para o jogador.

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