(Sheldon Ross) O jogo de azar descrito a seguir, conhecido como roda da fortuna, é bastante popular em muitos parques de diversões e cassinos. Um jogador aposta em um número de 1 a 6. Três dados são então lançados, e se o número apostado sair
vezes,
, então o jogador ganha
unidades; se o número apostado não sair em nenhum dos dados, então o jogador perde 1 unidade. Este jogo é justo para o jogador? (Na realidade, o jogo é jogado-girando-se uma roleta que cai em um número de 1 a 6 , mas essa variante é matematicamente equivalente à versão dos dados.)
Passo 1
O enunciado descreve um jogo em que se lança três dados justos e o jogador ganha
unidades se o número escolhido sai exatamente
vezes
e perde 1 unidade se não sair nenhuma vez. O conteúdo aqui é calcular a esperança (valor esperado) de um jogo discreto, usando a distribuição binomial com parâmetro de sucesso
e
lançamentos.
Passo 2
Seja
o número de vezes que o valor apostado aparece em três lançamentos. Então
Em particular,
Passo 3
A remuneração do jogador é
unidades quando
para
, e
unidade quando
. Logo a esperança
do ganho é
Passo 4
Substituindo os valores de
, temos
Passo 5
O valor esperado é
, ou seja, o jogador perde em média cerca de
unidades por jogada. Portanto, o jogo não é justo para o jogador.
Resposta
O valor esperado por jogada é
, logo o jogo não é justo para o jogador.