O chamado potencial de Yukawa.
U(r)=-r0r U0 e^-r / r0
fornece uma descrição razoavelmente precisa da interação entre núcleons (isto é, nêutrons e prótons, os constituintes do núcleo). A constante r0 vale cerca de 1,5 times 10^-15 m e a constante U0 vale œrca de 50 MeV . (a) Ache a expressão correspondente à força de atração. (b) A fim de mostrar o curto alcance dessa força, calcule a razão entre a força em r=2 r0, 4 r0 e 10 r0 e seu valor em r=r0.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial de Yukawa
U(r)=-r0r,U0,e^-r/r0
e pede (a) a força de atração associada a esse potencial e (b) a razão entre essa força em r=2r0,4r0,10r0 e o seu valor em r=r0. O conteúdo aqui é a relação entre potencial central e força radial, usando
F(r)=-dUdr

Passo 2

Para obter a força, começamos escrevendo
F(r)=-dUdr
e calculamos a derivada de
U(r)=-U0,r0r,e^-r/r0

Passo 3

Derivando o fator ;e^-r/r0r:
ddrl(e^-r/r0rr) =-e^-r/r0r^2-e^-r/r0r,r0,,
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dUdr =-U0,r0l(-e^-r/r0r^2-e^-r/r0r,r0r) =U0,r+r0r^2,e^-r/r0
Portanto
F(r)=-dUdr =-U0,r+r0r^2,e^-r/r0

Passo 4

Para ver o alcance curto, definimos k=r/r0 e comparamos
F(k,r0)F(r0) =U0(k,r0)^2(k,r0+r0)e^-k U0r0^2(r0+r0)e^-1 =k+12,k^2,e^-(k-1)
Substituindo k=2,4,10 obtemos:
F(2r0)F(r0) =38,e^-1approx0,14,
F(4r0)F(r0) =532,e^-3approx7,8times10^-3,
F(10r0)F(r0) =11200,e^-9approx6,8times10^-6

Resposta

(a)
F(r)=-U0,r+r0r^2,e^-r/r0
(b)
F(2r0)F(r0)=38,e^-1approx0,14,
F(4r0)F(r0)=532,e^-3approx7,8times10^-3,
F(10r0)F(r0)=11200,e^-9approx6,8times10^-6

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