A energia potencial de certo campo de forças bidimensional é expressa por U(x, y)= =12 k(x^2+y^2). (a) Deduzir Fx e Fy e descrever o vetor força em cada ponto, em termos das coordenadas cartesianas x e y. (b) Deduzir Fr e Ftheta, descrevendo o campo de força, em cada ponto, em termos das coordenadas polares r e theta do ponto. (c) Você pode imaginar um modelo físico de tal força?
Resposta: (a) Fx=-k x ; Fy=-k y ; F aponta em direção à origem.
(b) Fr=-k r ; Ftheta=0.

Passo 1

O enunciado dá a energia potencial
U(x,y)=tfrac12,kl(x^2+y^2r)
de um campo de forças bidimensional e pede:
– em coordenadas cartesianas, as componentes Fx e Fy a partir de U e a descrição do vetor força;
– em coordenadas polares (r,theta), as componentes Fr e Ftheta;
– um modelo físico que realize esse campo.
Para resolver vamos usar que, em um campo de potencial, a força é
F=-nabla U
e também a relação entre cartesianas e polares: x=rcostheta, y=rsintheta.

Passo 2

Aplicando Fx=-partial U/partial x e Fy=-partial U/partial y temos
partial Upartial x=k,x, partial Upartial y=k,y,
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Fx=-k,x, Fy=-k,y
Assim o vetor força em cada ponto (x,y) é
F(x,y)=l(-k,x,,-k,yr),
que aponta radialmente para a origem com módulo l|Fr|=kraizx^2+y^2.

Passo 3

Em coordenadas polares r=raizx^2+y^2 e theta=arctan(y/x), nota-se que
U(r)=tfrac12,k,r^2
depende só de r. Num campo central:
Fr=-dUdr=-k,r, Ftheta=-1r,partial Upartialtheta=0
Ou seja, a força é puramente radial e atrativa, com amplitude linear em r.

Passo 4

Um modelo físico que reproduz exatamente esse campo é uma partícula de massa presa ao ponto O por uma mola ideal sem direção preferencial (molas dispostas isotropicamente), de constante elástica k. Em qualquer direção a partícula “sente” uma força restauradora proporcional ao deslocamento r, característica do oscilador harmônico bidimensional.

Resposta

(a) Fx=-k,x; Fy=-k,y. O vetor força é F=( -k,x,,-k,y), apontando para a origem.
(b) Fr=-k,r; Ftheta=0, ou seja, força puramente radial e atrativa.
(c) Um modelo físico: uma massa no plano presa à origem por uma mola ideal isotrópica (oscilador harmônico 2D).

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