A energia potencial de certo campo de forças bidimensional é expressa por . (a) Deduzir e e descrever o vetor força em cada ponto, em termos das coordenadas cartesianas e . (b) Deduzir e , descrevendo o campo de força, em cada ponto, em termos das coordenadas polares e do ponto. (c) Você pode imaginar um modelo físico de tal força?
Resposta: (a) aponta em direção à origem.
(b) .
Passo 1
O enunciado dá a energia potencial
de um campo de forças bidimensional e pede:
– em coordenadas cartesianas, as componentes e a partir de e a descrição do vetor força;
– em coordenadas polares , as componentes e ;
– um modelo físico que realize esse campo.
Para resolver vamos usar que, em um campo de potencial, a força é
e também a relação entre cartesianas e polares: , .
Passo 2
Aplicando e temos
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Assim o vetor força em cada ponto é
que aponta radialmente para a origem com módulo .
Passo 3
Em coordenadas polares r=raizx^2+y^2 e theta=arctan(y/x), nota-se que
U(r)=tfrac12,k,r^2
depende só de r. Num campo central:
Fr=-dUdr=-k,r, Ftheta=-1r,partial Upartialtheta=0
Ou seja, a força é puramente radial e atrativa, com amplitude linear em r.
Passo 4
Um modelo físico que reproduz exatamente esse campo é uma partícula de massa presa ao ponto O por uma mola ideal sem direção preferencial (molas dispostas isotropicamente), de constante elástica k. Em qualquer direção a partícula “sente” uma força restauradora proporcional ao deslocamento r, característica do oscilador harmônico bidimensional.
Resposta
(a) Fx=-k,x; Fy=-k,y. O vetor força é F=( -k,x,,-k,y), apontando para a origem.
(b) Fr=-k,r; Ftheta=0, ou seja, força puramente radial e atrativa.
(c) Um modelo físico: uma massa no plano presa à origem por uma mola ideal isotrópica (oscilador harmônico 2D).