O módulo da força de atração entre o núcleo positivo e o elétron negativo de um átomo de hidrogênio é expresso por
F=k e^2r^2
sendo e a carga do elétron, k uma constante e r a distância entre núcleo e elétron. Suponha que o núcleo seja fixo. O elétron, que inicialmente descreve uma órbita circular de raio R1, èm torno do núcleo, pula repentinamente para uma órbita circular de raio R2 menor que R1. (a) Calcular a variação de energia cinética do elétron, usando a segunda lei de Newton. (b) Usando a relação entre força e energia potencial, calcular o decréscimo na energia potencial do átomo. (c) Encontrar de quanto decresce a energia total do átomo nesse processo. (Essaenergia é emitida sob a forma de radiação.)

Passo 1

O enunciado trata de um elétron em órbita circular sob a força coulombiana
F = k,e^2r^2
com núcleo fixo. Inicialmente o raio é R1 e pula para R2<R1.
Conteúdo: movimento circular (segunda lei de Newton) para achar energia cinética, relação força–energia potencial para achar U(r), e depois calcular a energia total E=K+U.

Passo 2

Para órbita circular vale
F = mv^2r,
logo
m v^2 = F,r = k,e^2r^2,r = k,e^2r
A energia cinética é
K = tfrac12,m v^2 = tfrac12,k,e^2r
Assim, a variação de K ao passar de R1 para R2 é
De<a K = K2-K1 = tfrac12,k,e^2l(1R2-1R1r)

Passo 3

A energia potencial associada a uma força central F(r) vem de
U(r) = -integral F(r),dr = -integral k,e^2r^2,dr = -k,e^2r
Logo
U1 = -k,e^2R1, U2 = -k,e^2R2
A variação é
De<a U = U2-U1 = -k,e^2l(1R2-1R1r),
ou seja, a energia potencial decresce em módulo
l|De<a Ur| = k,e^2l(1R2-1R1r)

Passo 4

A energia total em órbita circular é
E = K + U = tfrac12,k,e^2r - k,e^2r = -tfrac12,k,e^2r
Logo
E1 = -tfrac12,k,e^2R1, E2 = -tfrac12,k,e^2R2,
e a variação
De<a E = E2-E1 = -tfrac12,k,e^2l(1R2-1R1r)
Portanto a energia total decresce (é emitida) em
E1-E2 = tfrac12,k,e^2l(1R2-1R1r)

Resposta

(a) De<a K = tfrac12,k,e^2l(1R2-1R1r)
(b) De<a U = U2-U1 = -,k,e^2l(1R2-1R1r) (decréscimo em módulo k,e^2(tfrac1R2-tfrac1R1)).
(c) De<a E = E2-E1 = -tfrac12,k,e^2l(1R2-1R1r) (energia emitida tfrac12,k,e^2(tfrac1R2-tfrac1R1)).

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