Uma chaminé alta, de forma cilíndrica, cai se houver uma ruptura na sua base. Tratando a chaminé como um bastão fino, de altura
, expresse (a) a componente radial da aceleração linear do topo da chaminé, em função do ângulo
que ela faz com a vertical, e (b) a componente tangencial dessa mesma aceleração. (c) Em que ângulo
a aceleração linear é igual a
? R:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma chaminé de altura
que, ao romper na base, passa a girar livremente em torno desse ponto considerado como pivô fixo. Nosso objetivo é achar, para o ponto mais alto da chaminé:
– (a) a componente radial da aceleração linear;
– (b) a componente tangencial dessa aceleração;
– (c) o ângulo em que o módulo da aceleração linear do topo é igual a
.
O conteúdo que vamos usar é dinâmica de rotação (torque e momento de inércia), energia para obter e, em seguida, as definições de acelerações centrípeta (radial) e tangencial.
– (a) a componente radial da aceleração linear;
– (b) a componente tangencial dessa aceleração;
– (c) o ângulo
O conteúdo que vamos usar é dinâmica de rotação (torque e momento de inércia), energia para obter
Passo 2
Cálculo da aceleração angular
e da velocidade angular
em função de
.
A partir da dinâmica de rotação em torno da base (pivô O):
– Momento de inércia da haste uniforme em O:
A partir da dinâmica de rotação em torno da base (pivô O):
– Momento de inércia da haste uniforme em O:
– Torque da força peso
atuando no centro de massa (distância
de O):
Logo, a aceleração angular tem módulo
Para
usamos conservação de energia (parte rotacional somente):
energia potencial perdida até é
energia potencial perdida até
que vira energia cinética rotacional
Igualando
a essa energia, vem
Passo 3
Com
em mãos, a componente radial da aceleração do topo (distância
de O) é a aceleração centrípeta dirigida para O, de módulo
Passo 4
A componente tangencial da aceleração do topo é dada por
Passo 5
Para achar
tal que o módulo da aceleração total do topo seja
, usamos
Substituindo
e dividindo por
, chega-se a uma equação em
cuja única solução fisicamente válida é
logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)