Qual dos metais relacionados a seguir apresentará o menor raio crítico em condições de superesfriamento máximo: Alumínio, Ferro ou Ouro?

Passo 1

O enunciado pergunta: dentre os metais Alumínio, Ferro e Ouro, qual terá o menor raio crítico ( r^*) quando cada um estiver submetido ao superesfriamento máximo.
Informações relevantes (dadas implicitamente pelo enunciado): temos três metais distintos e precisamos comparar o raio crítico de nucleação homogênea em condição de superesfriamento máximo. Não há figura nem dados numéricos fornecidos no enunciado, então usaremos a expressão teórica para r^* e valores típicos de propriedades físicas dos metais para comparar.

Passo 2

Apresento a fórmula básica do problema. O raio crítico de um núcleo esférico para transformação de fase (nucleação homogênea) é dado por
r^*=\frac{2\gamma}{|\Delta g_v|},
onde:
  • \gamma é a energia interfacial sólido–líquido (unidade: \mathrm{J\,m^{-2}});
  • \Delta g_v é a variação da energia livre por unidade de volume entre as fases (unidade: \mathrm{J\,m^{-3}}); o valor absoluto aparece porque \Delta g_v é negativo quando a fase sólida é termodinamicamente favorável.
Explicação didática: a expressão mostra que r^* aumenta quando a interface é mais “cara” ( \gamma grande) e diminui quando o ganho volumétrico de energia é maior (isto é, quando |\Delta g_v| é maior). Intuitivamente: superfície custa energia, volume libera energia; o raio crítico é o ponto de equilíbrio entre custo superficial e ganho volumétrico.

Passo 3

Vamos relacionar \Delta g_v com grandezas mais conhecidas (entalpia de fusão e molaridade). Perto do ponto de fusão, pode-se aproximar
\Delta g_v \approx -\frac{\Delta H_f}{V_m}\cdot\frac{\Delta T}{T_m},
onde:
  • \Delta H_f é a entalpia de fusão por mol (unidade: \mathrm{J\,mol^{-1}});
  • V_m é o volume molar (unidade: \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}});
  • T_m é a temperatura de fusão (em K);
  • \Delta T=T_m-T é o sub-resfriamento (undercooling).
Explicação didática: a diferença de energia livre por volume cresce aproximadamente proporcionalmente ao sub-resfriamento \Delta T. O fator \Delta H_f/V_m converte entalpia de fusão molar em energia por unidade de volume e a razão \Delta T/T_m dá a fração do “motor termodinâmico” disponível.

Passo 4

Em condição de superesfriamento máximo, \Delta T atinge seu valor máximo (para comparação entre metais podemos aproximar o caso extremo onde \Delta T é da ordem de T_m ou tomar \Delta T/T_m similar como “máxima fração possível”). Para comparar tendências e obter uma fórmula simples e transparente, tomamos a aproximação ló`gica
\frac{\Delta T}{T_m}\approx 1\quad\text{(superesfriamento máximo, para efeito comparativo).}á
Substituindo em \Delta g_v e depois em r^* obtemos a expressão prática para comparação:
r^*\approx \frac{2\gamma V_m}{\Delta H_f}.
Comentário: essa forma é muito útil porque elimina \Delta T e T_m e mostra que, em superesfriamento máximo, o raio crítico é proporcional ao produto \gamma V_m e inversamente proporcional à entalpia de fusão molar \Delta H_f.

Passo 5

Agora vamos comparar numericamente \dfrac{2\gamma V_m}{\Delta H_f} para os três metais usando valores típicos conhecidos (valores aproximados de literatura; o objetivo é comparar ordens de grandeza, não obter uma precisão absoluta). Para cada metal calculamos V_m=\dfrac{M}{\rho} (com M em \mathrm{kg\,mol^{-1}} e \rho em \mathrm{kg\,m^{-3}}).
Dados típicos usados (aproximações):
  • Alumínio (Al): M=26{,}98\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=2{,}698\times10^{-2}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}, \rho\approx 2700\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, \Delta H_f\approx 10{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}, \gamma\approx 0{,}09\\ \mathrm{J\,m^{-2}}.
  • Ferro (Fe): M=55{,}85\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=5{,}585\times10^{-2}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}, \rho\approx 7870\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, \Delta H_f\approx 13{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}, \gamma\approx 0{,}20\\ \mathrm{J\,m^{-2}}.
  • Ouro (Au): M=196{,}97\\ \mathrm{g\,mol^{-1}}=1{,}9697\times10^{-1}\\ \mathrm{kg\,mol^{-1}}, \rho\approx 19300\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}, \Delta H_f\approx 12{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}, \gamma\approx 0{,}15\\ \mathrm{J\,m^{-2}}.
Cálculo dos volumes molares:
V_{m,\mathrm{Al}}=\frac{2{,}698\times10^{-2}}{2700}=9{,}99\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}
V_{m,\mathrm{Fe}}=\frac{5{,}585\times10^{-2}}{7870}=7{,}10\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}
V_{m,\mathrm{Au}}=\frac{1{,}9697\times10^{-1}}{19300}=1{,}02\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}

Passo 6

Agora calculamos r^*\approx\dfrac{2\gamma V_m}{\Delta H_f} para cada metal (faço contas passo a passo e mantenho as unidades):
Alumínio:
r^*_{\mathrm{Al}} \approx \frac{2\cdot 0{,}09\\ \mathrm{J\,m^{-2}}\cdot 9{,}99\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}}{10{,}7\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}} =\frac{1{,}7982\times10^{-6}}{1{,}07\times10^{4}} \approx 1{,}68\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}168\\ \mathrm{nm}.
Ferro:
r^*_{\mathrm{Fe}} \approx \frac{2\cdot 0{,}20\\ \mathrm{J\,m^{-2}}\cdot 7{,}10\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}}{13{,}8\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}} =\frac{2{,}84\times10^{-6}}{1{,}38\times10^{4}} \approx 2{,}06\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}206\\ \mathrm{nm}.
Ouro:
r^*_{\mathrm{Au}} \approx \frac{2\cdot 0{,}15\\ \mathrm{J\,m^{-2}}\cdot 1{,}02\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}}{12{,}6\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}} =\frac{3{,}06\times10^{-6}}{1{,}26\times10^{4}} \approx 2{,}43\times10^{-10}\\ \mathrm{m}=0{,}243\\ \mathrm{nm}.
Interpretação: com os valores típicos usados, obtemos a ordem
r^*_{\mathrm{Al}} < r^*_{\mathrm{Fe}} < r^*_{\mathrm{Au}}.
Ou seja, o Alumínio apresenta o menor raio crítico entre os três (valores numéricos na escala de décimos de nanômetro).

Passo 7

Discussão e sanity check (explicação amigável): por que deu Alumínio com menor r^*? Pela fórmula r^*\propto \gamma V_m/\Delta H_f. Apesar de o Ferro ter entalpia de fusão um pouco maior (aumentando o denominador e diminuindo r^*), o Alumínio tem uma energia interfacial \gamma bem menor e um volume molar competitivo, então o numerador \gamma V_m para Al fica menor que para Fe e Au, resultando em r^* menor. O Ouro tem grande massa molar e volume molar maior e não compensa totalmente por sua entalpia de fusão, vindo com maior r^*.
Observação importante: os números usados são aproximados; a conclusão qualitativa (Al menor) é robusta para valores típicos encontrados na literatura. Em provas, o raciocínio a apresentar é: escreva r^*=\dfrac{2\gamma}{|\Delta g_v|}, passe para a forma com \Delta H_f e V_m e compare \dfrac{\gamma V_m}{\Delta H_f} para cada metal — o metal com menor razão terá o menor raio crítico.

Resposta

Alumínio

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