Uma chapa de aço com espessura L=1,9 \mathrm{~cm} e área A=21 \mathrm{~m}^{2}, separa dois ambientes mantidos com temperaturas diferentes.
A temperatura superficial da placa é \mathrm{T}_{1}=159^{\circ} \mathrm{C} de um lado e \mathrm{T}_{2}=35^{\circ} \mathrm{C}, do outro. A condutividade térmica do material (aço inoxidável) é k=18 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}.
Determine a carga térmica Q’ através da placa.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Espessura da chapa: L=1,9\\ \mathrm{cm}.
  • Área da chapa: A=21\\ \mathrm{m}^{2}.
  • Temperatura de um lado: T_{1}=159^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura do outro lado: T_{2}=35^\circ\mathrm{C}.
  • Condutividade térmica do aço inox: k=18\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: determinar a carga térmica (taxa de transferência de calor em regime estacionário) através da placa, que chamaremos de Q'.

Passo 2

Lei física e fórmula a usar (explicação didática passo a passo):
Para condução térmica unidimensional em regime estacionário através de uma parede plana e homogênea, a lei de Fourier diz que a taxa de calor é proporcional à área, à condutividade e ao gradiente de temperatura. Matemáticamente, a forma diferencial é
Q' = -k A \frac{dT}{dx}.
Aqui:
  • Q' é a taxa de calor (potência térmica) em watts ( \mathrm{W}),
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^\circ\mathrm{C}),
  • A é a área perpendicular ao fluxo ( \mathrm{m}^2),
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura ao longo da espessura ( ^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}).
Se a condutividade k for constante e a temperatura variar linearmente entre as faces (caso de regime estacionário sem geração interna), o gradiente é (T_{2}-T_{1})/L e a expressão fica
Q' = k A \frac{T_{1}-T_{2}}{L}.
Observação: eu já escrevi com T_{1}-T_{2} positivo para obter Q'>0 quando o calor flui do lado mais quente ( T_1) para o mais frio ( T_2).

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo do salto de temperatura:
  • Converter a espessura para metros:
L = 1,9\\ \mathrm{cm} = 0,019\\ \mathrm{m}.
  • Calcular a diferença de temperatura:
\Delta T = T_{1}-T_{2} = 159^\circ\mathrm{C}-35^\circ\mathrm{C}=124^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Cálculo do fluxo de calor por unidade de área (densidade de fluxo térmico) — passo intermediário útil para ver a ordem de grandeza:
Usando \displaystyle q''=\frac{Q'}{A}=k\frac{\Delta T}{L}, primeiro calculamos k\Delta T:
k\Delta T = 18\cdot 124 = 2232\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}.
Agora dividimos por L:
q'' = \frac{2232}{0,019} = 117473,684210\dots\\ \mathrm{W/m^2}.
Então a densidade de fluxo é aproximadamente 1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{W/m^2}. (Isto significa que cada metro quadrado da chapa transfere cerca de 1{,}17\times10^{5}\\ \mathrm{W}.)

Passo 5

Cálculo da carga térmica total Q' usando Q'=q''\cdot A (ou diretamente Q'=kA\Delta T/L):
Usando q'' encontrado:
Q' = q''\cdot A = 117473{,}684210\dots \cdot 21 = 2466947{,}368421\dots\\ \mathrm{W}.
Arredondando para três algarismos significativos:
Q' \approx 2{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{W}.

Resposta

Q' = 2{,}466\,947{,}368\\ \mathrm{W} \approx 2{,}47\times10^{6}\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados