0 sistema de bombeamento trabalha com uma vazão de 0,015 \mathrm{m} 3 / \mathrm{s}. A tubulação de aspiração tem um comprimento de 15 metros. A tubulação de recalque tem um comprimento de
200 metros. A válvula de globo aberta apresenta um comprimento equivalente \mathrm{Le}=30 \mathrm{D} onde D é o diâmetro da tubulação. Determine a perda de carga total do sistema de Bombeamento e a potência de acionamento da bomba considerando que apresenta um rendimento de 76 \%. A tubulação de aspiração tem um diâmetro de 100 mm e a tubulação de recalque apresentam um diâmetro interno de 50 mm . Considere uma tubulação é de aço com rugosidade igual a 4,6x105 m .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei a altura de 10\\ \mathrm{m} observando a figura):
  • Vazão: \displaystyle Q=0{,}015\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Tubulação de aspiração: comprimento \displaystyle L_s=15\\ \mathrm{m}, diâmetro interno \displaystyle D_s=100\\ \mathrm{mm}=0{,}10\\ \mathrm{m}.
  • Tubulação de recalque: comprimento \displaystyle L_d=200\\ \mathrm{m}, diâmetro interno \displaystyle D_d=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Válvula de globo (aberta) no recalque com comprimento equivalente \displaystyle L_e=30D (usei D da tubulação onde a válvula está, ou seja \displaystyle D_d).
  • Diferença de nível entre superfícies livres dos reservatórios (figura): \displaystyle H_{estática}=10\\ \mathrm{m}á.
  • Rugosidade do aço: a notação do enunciado estava ambígua ( 4,6\times105\\ \mathrm{m}). Vou interpretar como a rugosidade típica do aço comercial \displaystyle \epsilon=4{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}. Se sua intenção fosse outra, avise que eu recalculo.
  • Dados de fluido/constantes usados: densidade da água \displaystyle \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, aceleração da gravidade \displaystyle g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, viscosidade cinemática (água a ~20°C) \displaystyle \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Rendimen to da bomba: \displaystyle \eta=76\%=0{,}76.
O que se pede: determinar a perda de carga total que a bomba precisa vencer (ou seja, carga total hidráulica: carga estática mais perdas por atrito e perdas localizadas) e a potência de acionamento da bomba considerando o rendimento dado.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular as velocidades médias nas duas tubulações. Fórmula: \displaystyle V=\dfrac{Q}{A} onde \displaystyle A=\dfrac{\pi D^2}{4} é a área da seção.
  • Área da aspiração:
A_s=\dfrac{\pi D_s^2}{4}=\dfrac{\pi(0{,}10)^2}{4}=7{,}85398\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade na aspiração:
V_s=\dfrac{Q}{A_s}=\dfrac{0{,}015}{7{,}85398\times10^{-3}}\approx1{,}91\\ \mathrm{m/s}.
  • Área do recalque:
A_d=\dfrac{\pi D_d^2}{4}=\dfrac{\pi(0{,}05)^2}{4}=1{,}9635\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2}.
Velocidade no recalque:
V_d=\dfrac{Q}{A_d}=\dfrac{0{,}015}{1{,}9635\times10^{-3}}\approx7{,}64\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: a velocidade cresce quando o diâmetro diminui porque a mesma vazão passa por área menor; aqui a velocidade no recalque é bem maior, e isso aumenta fortemente as perdas por atrito.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds em cada trecho para saber se o escoamento é turbulento e permitir calcular o fator de atrito. Fórmula: \displaystyle Re=\dfrac{V D}{\nu}.
  • Aspiração:
Re_s=\dfrac{V_s D_s}{\nu}=\dfrac{1{,}91\cdot0{,}10}{1{,}0\times10^{-6}}\approx1{,}91\times10^{5}.
  • Recalque:
Re_d=\dfrac{V_d D_d}{\nu}=\dfrac{7{,}64\cdot0{,}05}{1{,}0\times10^{-6}}\approx3{,}82\times10^{5}.
Ambos são bem maiores que 4000, logo escoamento turbulento em ambos os trechos. Em escoamento turbulento o fator de atrito depende de Re e da rugosidade relativa \epsilon/D.

Passo 4

Escolher método para obter o fator de atrito f. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (fácil de aplicar em prova sem iterar Colebrook), que vale para escoamento turbulento:
\displaystyle f=\dfrac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{\epsilon}{3{,}7D}+\dfrac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Aqui \epsilon é a rugosidade absoluta e D o diâmetro do trecho; Re é o número de Reynolds. Vou aplicar para cada trecho.
Calcular rugosidade relativa e termos:
  • Para aspiração ( D_s=0{,}10\\ \mathrm{m}):
\dfrac{\epsilon}{3{,}7D_s}=\dfrac{4{,}6\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}10}\approx1{,}243\times10^{-4}, \qquad \dfrac{5{,}74}{Re_s^{0{,}9}}\approx\dfrac{5{,}74}{(1{,}91\times10^{5})^{0{,}9}}\approx1{,}01\times10^{-4}.
Somando e aplicando Swamee–Jain dá:
f_s\approx0{,}0188.
  • Para recalque ( D_d=0{,}05\\ \mathrm{m}):
\dfrac{\epsilon}{3{,}7D_d}=\dfrac{4{,}6\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}05}\approx2{,}486\times10^{-4}, \qquad \dfrac{5{,}74}{Re_d^{0{,}9}}\approx\dfrac{5{,}74}{(3{,}82\times10^{5})^{0{,}9}}\approx5{,}44\times10^{-5}.
Somando e aplicando Swamee–Jain dá:
f_d\approx0{,}0202.
Comentário didático: esses valores de f são típicos para escoamentos turbulentos em tubos de aço com essas rugosidades. Note que f_d é um pouco maior que f_s por causa da maior rugosidade relativa \epsilon/D no tubo menor.

Passo 5

Calcular as perdas por atrito em cada trecho usando a equação de Darcy–Weisbach:
\displaystyle h_f = f\cdot\dfrac{L}{D}\cdot\dfrac{V^2}{2g},
onde h_f é a perda de carga (em metros de coluna de fluido), L comprimento do trecho, D diâmetro, V velocidade média, g gravidade.
Calcule a energia cinética por unidade de peso \dfrac{V^2}{2g} em cada trecho:
\dfrac{V_s^2}{2g}=\dfrac{(1{,}91)^2}{2\cdot9{,}81}\approx0{,}186\\ \mathrm{m}, \qquad \dfrac{V_d^2}{2g}=\dfrac{(7{,}64)^2}{2\cdot9{,}81}\approx2{,}975\\ \mathrm{m}.
Agora as perdas por atrito:
  • Aspiração:
\displaystyle h_{f,s}=f_s\cdot\dfrac{L_s}{D_s}\cdot\dfrac{V_s^2}{2g} =0{,}0188\cdot\dfrac{15}{0{,}10}\cdot0{,}186 =0{,}0188\cdot150\cdot0{,}186\approx0{,}524\\ \mathrm{m}.
  • Recalque:
\displaystyle h_{f,d}=f_d\cdot\dfrac{L_d}{D_d}\cdot\dfrac{V_d^2}{2g} =0{,}0202\cdot\dfrac{200}{0{,}05}\cdot2{,}975 =0{,}0202\cdot4000\cdot2{,}975\approx240{,}38\\ \mathrm{m}.
Explicação: aqui aparece o maior impacto — o trecho de recalque é longo e de pequeno diâmetro, o fator L/D é muito grande ( 4000), por isso as perdas por atrito dominam o balanço.

Passo 6

Calcular perda localizada na válvula (convertida em comprimento equivalente). Para válvula com comprimento equivalente L_e, a perda pode ser tratada como
K = f\cdot\dfrac{L_e}{D},\qquad h_{val}=K\cdot\dfrac{V^2}{2g}=f\cdot\dfrac{L_e}{D}\cdot\dfrac{V^2}{2g}.
Aqui L_e=30D_d, então \dfrac{L_e}{D_d}=30. Usando f_d e a velocidade do recalque:
h_{val}=f_d\cdot30\cdot\dfrac{V_d^2}{2g}=0{,}0202\cdot30\cdot2{,}975\approx1{,}80\\ \mathrm{m}.
Observação: além desta válvula pode haver outras perdas localizadas (cotovelos, entradas, uniões), mas o enunciado forneceu explicitamente apenas a válvula; por isso considerei só ela.

Passo 7

Somar todas as perdas e a diferença de nível para obter a carga total que a bomba deve vencer. Perda total por atrito + perdas locais:
h_{perdas}=h_{f,s}+h_{f,d}+h_{val}=0{,}524+240{,}38+1{,}80\approx242{,}71\\ \mathrm{m}.
Carga total (energia por unidade de peso) a vencer pela bomba:
H_{total}=H_{estática}+h_{perdas}=10{,}0+242{,}71\approx252{,}71\\ \mathrm{m}.á
Interpretação: a bomba precisa entregar aproximadamente \displaystyle 253\\ \mathrm{m} de coluna de água — a maior parte dessa carga vem do atrito no trecho de recalque longo e estreito.

Passo 8

Calcular a potência hidráulica (potência entregue ao fluido) e a potência de acionamento da bomba considerando o rendimento. Fórmulas:
P_{hid}=\rho g Q H_{total}, \qquad P_{motor}=\dfrac{P_{hid}}{\eta}.
Valores numéricos:
P_{hid}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}015\cdot252{,}71 =15\cdot9{,}81\cdot252{,}71\approx37\,186\\ \mathrm{W}\approx37{,}2\\ \mathrm{kW}.
P_{motor}=\dfrac{37\,186}{0{,}76}\approx48\,935\\ \mathrm{W}\approx48{,}9\\ \mathrm{kW}.
Comentário final: ou seja, a bomba deve fornecer cerca de 37{,}2\\ \mathrm{kW} hidráulicos e, com rendimento de 76\%, o motor precisa de aproximadamente 48{,}9\\ \mathrm{kW} elétricos. Note que a potência necessária é grande principalmente por causa do diâmetro pequeno do recalque e do comprimento grande; uma estratégia prática para reduzir potência seria aumentar o diâmetro do recalque.

Resposta

Perda de carga total (carga que a bomba deve vencer): \displaystyle H_{total}\approx252{,}71\\ \mathrm{m}
Potência de acionamento da bomba (considerando \eta=76\%): \displaystyle P_{motor}\approx48{,}9\\ \mathrm{kW}

Exercícios relacionados