Uma chapa de aço com 2,5 \mathrm{~mm} de espessura está sob uma temperatura de 900^{\circ} \mathrm{C} e sob uma atmosfera de nitrogênio em ambos os lados. Deixou-se atingir uma condição de difusão em regime estacionário. O coeficiente de difusão para o nitrogênio no aço a essa temperatura é de 1,2 \times 10^{-10} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e o fluxo de difusão foi determinado como de 1,0 \times 10^{-7} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}. Sabe-se, também, que a concentração de nitrogênio no aço, na superfície sob alta pressão, é de 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. A que profundidade da chapa, a partir deste lado com pressão elevada, a concentração será de 0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ? Considere um perfil de concentração linear.
8. Uma chapa de ferro CCC, com 2 mm de espessura, foi exposta a 675^{\circ} \mathrm{C}, a uma atmosfera gasosa carbonetante em um de seus lados e uma atmosfera descarbonetante no outro lado. Após atingir a condição de regime estacionário, o ferro foi resfriado rapidamente até a temperatura ambiente. As concentrações de carbono nas duas superfícies da chapa foram determinadas como 0,015 e 0,0068 \% p. Calcule o coeficiente de difusão se o fluxo de difusão é de 7,36 \times 10^{-9} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que cada enunciado pede e os dados fornecidos.
Problema A (nitrogênio no aço):
  • Espessura da chapa: 2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura: 900^\circ\mathrm{C} (informação de contexto, não usada diretamente nos cálculos).
  • Coeficiente de difusão: D=1{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Fluxo de difusão (massa) medido: J=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\mathrm{s}.
  • Concentração de nitrogênio na superfície do lado de alta pressão: c_0=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Pede: profundidade x, medida a partir do lado de alta pressão, onde a concentração vale c(x)=0{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Observação do enunciado: assumir perfil de concentração linear (regime estacionário).
Problema B (carbono no ferro):
  • Espessura da chapa: 2{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Temperatura: 675^\circ\mathrm{C} (contexto).
  • Após regime estacionário, concentrações nas superfícies (em percentagem em massa): X_1=0{,}015\% (lado carbonetante) e X_2=0{,}0068\% (lado descarbonetante).
  • Fluxo de difusão (massa) medido: J=7{,}36\times10^{-9}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\mathrm{s}.
  • Pede: coeficiente de difusão D.
  • Nota importante: para transformar as porcentagens em concentrações por volume (kg/m^3) é necessário usar a densidade do ferro. Essa densidade não foi dada no enunciado; vou assumir um valor típico para ferro/ferro-carbono sólido: \rho=7{,}870\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Vou explicitar essa hipótese quando resolver.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): Fick — regime estacionário e perfil linear.
  • Em regime estacionário unidimensional, o fluxo de massa por unidade de área causado por difusão obedece à Lei de Fick de primeira lei:
J = -D\,\frac{dc}{dx},
onde:
  • J é o fluxo de massa de soluto (aqui kg de soluto por \mathrm{m}^2 por \mathrm{s}), positivo no sentido do transporte;
  • D é o coeficiente de difusão ( \mathrm{m}^2/\mathrm{s});
  • c(x) é a concentração de soluto por volume ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3);
  • dc/dx é o gradiente de concentração (variação por unidade de comprimento).
  • Se o perfil de concentração é linear ao longo de uma distância L, então
\frac{dc}{dx} = \frac{c_2-c_1}{L},
onde c_1 e c_2 são concentrações nas faces separadas pela distância L. Substituindo em Fick:
J = -D\,\frac{c_2-c_1}{L} = D\,\frac{c_1-c_2}{L}.
Essa fórmula é a que vamos aplicar nos dois problemas. Vou explicitar o significado de cada variável em cada caso e fazer as conversões de unidades cuidadosamente.

Passo 3

Resolução do Problema A (nitrogênio) — dedução da fórmula aplicada e cálculo passo a passo.
  • Escolhendo a referência: x=0 na superfície sob alta pressão (concentração c_0=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3). Como o perfil é linear, para uma posição x dentro da chapa vale
c(x)=c_0 - \left(\frac{J}{D}\right) x,
obtido reescrevendo J = D\,(c_0-c_{\text{out}})/L localmente (ou integrando o gradiente constante). Isolando x quando c(x) é conhecida:
x = \frac{D\,[c_0-c(x)]}{J}.
  • Agora uso os valores numéricos (sempre em unidades SI):
    • D=1{,}2\times10^{-10}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
    • J=1{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\mathrm{s}.
    • c_0=2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
    • c(x)=0{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Calcular a diferença de concentrações:
c_0-c(x)=2-0{,}5=1{,}5\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Aplicar a fórmula:
x = \frac{1{,}2\times10^{-10}\cdot 1{,}5}{1{,}0\times10^{-7}}.
  • Compute passo a passo:
    • Produto no numerador: 1{,}2\times10^{-10}\cdot1{,}5 = 1{,}8\times10^{-10}.
    • Divisão: \dfrac{1{,}8\times10^{-10}}{1{,}0\times10^{-7}} = 1{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Converter para milímetros:
1{,}8\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 1{,}8\\ \mathrm{mm}.
  • Verificação rápida: a profundidade calculada ( 1{,}8\\ \mathrm{mm}) é menor que a espessura total da chapa ( 2{,}5\\ \mathrm{mm}), logo faz sentido físico.

Passo 4

Resolução do Problema B (carbono) — interpretação das porcentagens, conversões e cálculo do coeficiente D.
  • Primeira observação (importante): as concentrações dadas X_1=0{,}015\% e X_2=0{,}0068\% são percentuais em massa (fração massa de carbono por massa do ferro). Para usar a Lei de Fick com c em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 precisamos da concentração por volume:
c = \rho\,X,
onde \rho é a densidade do metal ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3) e X é a fração em massa (adimensional, por exemplo 0{,}01 = 1\%). Assim o gradiente espacial de c relaciona-se com o gradiente de fração em massa por
\frac{dc}{dx} = \rho\,\frac{dX}{dx}.
Substituindo isso em Fick obtém-se
J = -D\,\rho\,\frac{dX}{dx}.
Para um perfil linear entre as duas superfícies separadas por L,
J = D\,\rho\,\frac{X_1-X_2}{L},
e isolando D:
D = \frac{J\,L}{\rho\,(X_1-X_2)}.
  • Como a densidade \rho do ferro não foi dada no enunciado, adoto a hipótese (valor típico) \rho = 7{,}870\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3. Esta é uma suposição razoável para ferro/ferro-carbono sólido; se um professor exigir outro valor, basta substituir e recalcular.
  • Converter as quantidades para SI e frações:
    • Espessura L=2{,}0\\ \mathrm{mm}=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • X_1 = 0{,}015\% = \dfrac{0{,}015}{100} = 1{,}5\times10^{-4} (fração massa).
    • X_2 = 0{,}0068\% = \dfrac{0{,}0068}{100} = 6{,}8\times10^{-5}.
    • Diferença: X_1-X_2 = 1{,}5\times10^{-4} - 6{,}8\times10^{-5} = 8{,}2\times10^{-5}.
    • Fluxo J=7{,}36\times10^{-9}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^2\mathrm{s}.
  • Aplicar a fórmula:
D = \frac{7{,}36\times10^{-9}\cdot 2{,}0\times10^{-3}}{7{,}870\times10^{3}\cdot 8{,}2\times10^{-5}}.
  • Calcular passo a passo:
    • Numerador: 7{,}36\times10^{-9}\cdot 2{,}0\times10^{-3} = 1{,}472\times10^{-11}.
    • Denominador: 7{,}870\times10^{3}\cdot 8{,}2\times10^{-5} = 7{,}870\cdot8{,}2\times10^{-2} = 645{,}34\times10^{-3} = 0{,}64534 (ou diretamente 0{,}64534\\ \mathrm{(adimensional\\ times\\ } \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3)).
    • Divisão: \dfrac{1{,}472\times10^{-11}}{0{,}64534} \approx 2{,}28\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Resultado numérico com arredondamento razoável: D \approx 2{,}28\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Observação final: se quiser repetir com outra densidade (por ex. \rho=7{,}800\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3), o procedimento é o mesmo; o valor de D mudará pouco.

Resposta

x = 1{,}8\\ \mathrm{mm}
D \approx 2{,}28\times10^{-11}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}

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