( 20,0 pontos) Em uma refinaria de petróleo existe uma tubulaçăo por onde circula vapor d’água a uma temperatura de 260^{\circ} \mathrm{C}. A tubulação é composta por um tubo de aço com 130 metros de comprimento, três polegadas, Schedule 10s (Diâmetro externo do tubo: 88,9 \mathrm{~mm} e espessura da parede do tubo: 3,05 \mathrm{~mm} ), cuja condutividade térmica é de \mathrm{k}_{\mathrm{uto}}=62,0 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). Sobre o tubo existe uma camada de isolante com 42 mm de espessura e condutividade térmica de \mathrm{k}_{\mathrm{ind}}=0,060 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}), sobre o isolante existe uma camada de material de impermeabilizaçåo com 5 mm de espessura e condutividade térmica de \mathrm{k}_{\mathrm{imp}}=0,82 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) e sobre o material de impermeabilização existe uma chapa de alumínio com 2 mm de espessura e condutividade térmica de \mathrm{k}_{\mathrm{alu}}=178 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}). O coeficiente de convecção interno é de 55 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right) e o coeficiente de convecção externo é de 30 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}\right). A refinaria está instalada na cidade do Rio de Janeiro cuja temperatura ambiente pode ser admitida igual a 34^{\circ} \mathrm{C}. Determinar:
a) ( 10,0 pontos) A taxa de transferéncia de calor através da tubulação;
b) ( 10,0 pontos) A temperatura na superficie externa da tubulaçåo (na superficie externa da chapa de aluminio).

Passo 1

O que o problema pede:
  • (a) Calcular a taxa de transferência de calor total através da tubulação (perda de calor do vapor para o ambiente), para o trecho de comprimento 130\\ \mathrm{m}.
  • (b) Calcular a temperatura na superfície externa da tubulação (superfície externa da chapa de alumínio).
Informações e dados fornecidos (conversões para metros):
\begin{aligned} &\text{Temperatura do vapor: }T_{\text{vapor}}=260\\ ^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Temperatura ambiente: }T_{\infty}=34\\ ^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Comprimento do tubo: }L=130\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro externo do tubo: }D_{o,\text{aço}}=88{,}9\\ \mathrm{mm}=0{,}0889\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Espessura da parede do tubo: }t_{\text{aço}}=3{,}05\\ \mathrm{mm}=0{,}00305\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Portanto diâmetro interno do tubo: }D_{i,\text{aço}}=88{,}9-2\cdot3{,}05=82{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0828\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Raio interno: }r_i=\dfrac{D_{i,\text{aço}}}{2}=0{,}0414\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Raio externo do aço: }r_{o,\text{aço}}=\dfrac{D_{o,\text{aço}}}{2}=0{,}04445\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Isolante: espessura }t_{\text{ind}}=42\\ \mathrm{mm}=0{,}042\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Impermeabilização: }t_{\text{imp}}=5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Chapa de alumínio: }t_{\text{alu}}=2\\ \mathrm{mm}=0{,}002\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Portanto raios externos sucessivos:}\\\ &\quad r_{\text{out,ind}}=r_{o,\text{aço}}+t_{\text{ind}}=0{,}04445+0{,}042=0{,}08645\\ \mathrm{m}\\\ &\quad r_{\text{out,imp}}=r_{\text{out,ind}}+t_{\text{imp}}=0{,}08645+0{,}005=0{,}09145\\ \mathrm{m}\\\ &\quad r_{\text{out,alu}}=r_{\text{out,imp}}+t_{\text{alu}}=0{,}09145+0{,}002=0{,}09345\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Condutividades: }k_{\text{aço}}=62{,}0\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\;k_{\text{ind}}=0{,}060\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\quad k_{\text{imp}}=0{,}82\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\;k_{\text{alu}}=178\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}\\\ &\text{Coeficientes de convecção: }h_i=55\\ \mathrm{W/(m^2 K)},\;h_o=30\\ \mathrm{W/(m^2 K)}. \end{aligned}âççâççççççãíçççã

Passo 2

Estratégia de solução (sem cálculos ainda):
  • Modelamos o sistema como uma série de resistências térmicas concêntricas para condução radial em cilindros e duas resistências de convecção (interna e externa). As resistências somam-se em série.
  • Fórmulas que usaremos:
Resistência por convecção numa superfície cilíndrica (total, sobre comprimento L):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\;A}=\frac{1}{h\;2\pi r L},
onde h é o coeficiente de convecção, r o raio da superfície considerada e L o comprimento.
Resistência por condução radial através de uma casca cilíndrica entre raios r_1 e r_2:
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L},
onde k é a condutividade térmica do material.
  • A resistência térmica total:
R_{\text{total}}=R_{\text{conv,i}}+R_{\text{cond,aço}}+R_{\text{cond,ind}}+R_{\text{cond,imp}}+R_{\text{cond,alu}}+R_{\text{conv,o}}.ç
  • A taxa de calor total:
\dot{Q}=\frac{T_{\text{vapor}}-T_{\infty}}{R_{\text{total}}}.
  • A temperatura na superfície externa da chapa de alumínio (superfície exposta ao ar) pode ser obtida a partir da queda de temperatura na resistência externa por convecção:
T_{\text{surf,ext}}=T_{\infty}+\dot{Q}\,R_{\text{conv,o}}.
Vou agora calcular cada resistência numericamente.

Passo 3

Cálculo das áreas e resistências (com substituições e contas mostradas):
Área interna (superfície do fluxo de vapor), usada em R_{\text{conv,i}}:
A_i=2\pi r_i L=2\pi(0{,}0414)(130)=33{,}826\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
R_{\text{conv,i}}=\frac{1}{h_i A_i}=\frac{1}{55\cdot 33{,}826} \approx 0{,}0005375\\ \mathrm{K/W}.
Resistência de condução na parede de aço (entre r_i e r_{o,\text{aço}}ç):
R_{\text{cond,aço}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{o,\text{aço}}}{r_i}\right)}{2\pi k_{\text{aço}} L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}04445}{0{,}0414}\right)}{2\pi(62)(130)}.ççç
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}04445}{0{,}0414}\right)\approx 0{,}07080,\quad 2\pi k_{\text{aço}} L\approx 2\pi\cdot62\cdot130\approx 50\,666,ç
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R_{\text{cond,aço}}\approx \frac{0{,}07080}{50\,666}\approx 1{,}40\times10^{-6}\\ \mathrm{K/W}.ç
(essa resistência é desprezivelmente pequena comparada às demais, por causa do alto k e da pequena espessura.)
Resistência de condução no isolante (entre r_{o,\text{aço}}ç e r_{\text{out,ind}}):
R_{\text{cond,ind}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out,ind}}}{r_{o,\text{aço}}}\right)}{2\pi k_{\text{ind}} L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}08645}{0{,}04445}\right)}{2\pi(0{,}060)(130)}.ç
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}08645}{0{,}04445}\right)\approx 0{,}6666,\quad 2\pi k_{\text{ind}} L=2\pi\cdot0{,}06\cdot130\approx 49{,}011,
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R_{\text{cond,ind}}\approx \frac{0{,}6666}{49{,}011}\approx 0{,}01360\\ \mathrm{K/W}.
Resistência de condução na camada de impermeabilização (entre r_{\text{out,ind}} e r_{\text{out,imp}}):
R_{\text{cond,imp}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out,imp}}}{r_{\text{out,ind}}}\right)}{2\pi k_{\text{imp}} L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}09145}{0{,}08645}\right)}{2\pi(0{,}82)(130)}.
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}09145}{0{,}08645}\right)\approx 0{,}05637,\quad 2\pi k_{\text{imp}} L\approx 2\pi\cdot0{,}82\cdot130\approx 669{,}89,
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R_{\text{cond,imp}}\approx \frac{0{,}05637}{669{,}89}\approx 0{,}00008414\\ \mathrm{K/W}.
Resistência de condução na chapa de alumínio (entre r_{\text{out,imp}} e r_{\text{out,alu}}):
R_{\text{cond,alu}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_{\text{out,alu}}}{r_{\text{out,imp}}}\right)}{2\pi k_{\text{alu}} L} =\frac{\ln\!\left(\dfrac{0{,}09345}{0{,}09145}\right)}{2\pi(178)(130)}.
Cálculo numérico:
\ln\!\left(\dfrac{0{,}09345}{0{,}09145}\right)\approx 0{,}02165,\quad 2\pi k_{\text{alu}} L\approx 2\pi\cdot178\cdot130\approx 145{,}333,
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R_{\text{cond,alu}}\approx \frac{0{,}02165}{145{,}333}\approx 1{,}49\times10^{-7}\\ \mathrm{K/W}.
(igualmente muito pequeno pela alta condutividade do alumínio e pequena espessura.)
Resistência de convecção externa (superfície externa da chapa, raio r_{\text{out,alu}}):
A_o=2\pi r_{\text{out,alu}} L=2\pi(0{,}09345)(130)=76{,}352\\ \mathrm{m^2},
R_{\text{conv,o}}=\frac{1}{h_o A_o}=\frac{1}{30\cdot 76{,}352}\approx 0{,}0004367\\ \mathrm{K/W}.

Passo 4

Soma das resistências e cálculo da potência térmica:
Somando tudo:
\begin{aligned} R_{\text{total}}&=R_{\text{conv,i}}+R_{\text{cond,aço}}+R_{\text{cond,ind}}+R_{\text{cond,imp}}+R_{\text{cond,alu}}+R_{\text{conv,o}}\\\ &\approx 0{,}0005375+1{,}40\times10^{-6}+0{,}01360+0{,}00008414+1{,}49\times10^{-7}+0{,}0004367\\\ &\approx 0{,}0146599\\ \mathrm{K/W}. \end{aligned}ç
Diferença de temperatura:
\Delta T=T_{\text{vapor}}-T_{\infty}=260-34=226\\ \mathrm{K}.
Portanto a taxa de transferência de calor (perda total no comprimento 130\\ \mathrm{m}) é
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{226}{0{,}0146599}\approx 15\,420\\ \mathrm{W}\approx 15{,}4\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Temperatura na superfície externa da chapa de alumínio:
Usando a queda de temperatura na resistência de convecção externa:
T_{\text{surf,ext}}=T_{\infty}+\dot{Q}\,R_{\text{conv,o}} =34+\big(15\,420\big)\cdot 0{,}0004367.
Cálculo:
\dot{Q}\,R_{\text{conv,o}}\approx 15\,420\cdot 0{,}0004367\approx 6{,}74\\ ^\circ\mathrm{C},
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T_{\text{surf,ext}}\approx 34+6{,}74\approx 40{,}74\\ ^\circ\mathrm{C}.
(Observação: a maior parte da resistência térmica está no isolante, por isso a perda total é controlada por ele; as paredes metálicas e a chapa têm resistências negligenciáveis.)

Resposta

\dot{Q}\approx 15{,}4\\ \mathrm{kW}
T_{\text{superfície externa}}\approx 40{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}í

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