2- . Uma chapa de metal foi deformada elasticamente sob tensão biaxial equilibrada ( \sigma_{\mathrm{x}} =\sigma_{\mathrm{y}}, \sigma_{\mathrm{z}}=0 )
A. Derive uma expressão para a razão de deformações elásticas, \mathrm{e}_{\mathrm{z}} / \mathrm{e}_{\mathrm{x}}, em termos de constantes elásticas.
B. Se \mathrm{E}=70 \mathrm{GPa} e v=0.30, e e_{y} é medido como 1,00 \times 10^{-3}, qual é o valor de e_{z} ? → Dúvida

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e nos dá informações claras. Vou listar tudo que é relevante (sem resolver ainda):
  • O problema informa que a chapa sofreu uma tensão biaxial equilibrada, isto é,
    • \sigma_{x}=\sigma_{y} (tensão igual nos eixos x e y),
    • \sigma_{z}=0 (nenhuma tensão no eixo z).
  • Perguntas:
    A. Derivar uma expressão para a razão de deformações elásticas \mathrm{e}_{z}/\mathrm{e}_{x} em termos das constantes elásticas.
    B. Com \,E=70\\ \mathrm{GPa}, \nu=0,30 e com \mathrm{e}_{y} medido igual a 1,00\times 10^{-3}, determinar o valor de \mathrm{e}_{z}.
  • Observação útil que já dá uma simplificação prática: como \sigma_{x}=\sigma_{y}, temos \mathrm{e}_{x}=\mathrm{e}_{y} (para material isotrópico linear), então podemos usar o valor medido de \mathrm{e}_{y} como \mathrm{e}_{x}.

Passo 2

Apresentar a lei de Hooke generalizada para um meio elástico isotrópico (fórmulas que relacionam tensões e deformações triaxiais):
Para um material linear e isotrópico, as deformações normais são dadas por
\epsilon_{x}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{x}-\nu(\sigma_{y}+\sigma_{z})\bigr),
\epsilon_{y}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{y}-\nu(\sigma_{x}+\sigma_{z})\bigr),
\epsilon_{z}=\frac{1}{E}\bigl(\sigma_{z}-\nu(\sigma_{x}+\sigma_{y})\bigr).
Explicando cada símbolo:
  • \epsilon_{i} é a deformação (adimensional) na direção i ( i=x,y,z).
  • \sigma_{i} é a tensão (unidade de pressão) na direção i.
  • E é o módulo de Young (rigidez à tração).
  • \nu é o coeficiente de Poisson (relação entre contração lateral e alongamento axial).
    Essas fórmulas são a forma tensorial simplificada da lei de Hooke para casos de tensões normais (sem torção) e material isotrópico.

Passo 3

Aplicar as condições do enunciado: \sigma_{x}=\sigma_{y}=S (chamei a tensão comum de S) e \sigma_{z}=0. Substituindo nas fórmulas:
Calcular \epsilon_{x}:
\epsilon_{x}=\frac{1}{E}\bigl(S-\nu(S+0)\bigr) =\frac{1}{E}\bigl(S-\nu S\bigr) =\frac{S}{E}(1-\nu).
Calcular \epsilon_{z}:
\epsilon_{z}=\frac{1}{E}\bigl(0-\nu(S+S)\bigr) =\frac{1}{E}\bigl(-2\nu S\bigr) =-\frac{2\nu S}{E}.
Observação didática: note que \epsilon_{x} é proporcional a S e \epsilon_{z} também; o sinal negativo em \epsilon_{z} indica que se houver tração no plano x\!-\!y (tensão positiva S), a espessura (direção z) tende a diminuir (contração).

Passo 4

Formar a razão pedida \epsilon_{z}/\epsilon_{x}. Dividindo as expressões encontradas:
\frac{\epsilon_{z}}{\epsilon_{x}} = \frac{-\dfrac{2\nu S}{E}}{\dfrac{S}{E}(1-\nu)} = -\frac{2\nu}{1-\nu}.
Explicação: ao dividir, S e E cancelam — por isso a razão depende apenas de \nu (e não de S ou de E). O sinal negativo mostra que \epsilon_{z} tem sentido oposto a \epsilon_{x}.
Assim, a expressão geral pedida (parte A) é
\frac{\mathrm{e}_{z}}{\mathrm{e}_{x}}=-\frac{2\nu}{1-\nu}.

Passo 5

Agora a parte B: calcular numericamente \mathrm{e}_{z} usando \,E=70\\ \mathrm{GPa}, \nu=0,30 e \mathrm{e}_{x}=\mathrm{e}_{y}=1{,}00\times10^{-3}.
Primeiro calcule o fator da razão:
-\frac{2\nu}{1-\nu}=-\frac{2\cdot 0{,}30}{1-0{,}30}=-\frac{0{,}60}{0{,}70}=-0{,}857142857\ldots
Multiplicando por \epsilon_{x}=1{,}00\times10^{-3}:
\epsilon_{z}=-0{,}857142857\ldots\times 1{,}00\times10^{-3}=-8{,}57142857\times10^{-4}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas em notação científica para ficar prático):
\epsilon_{z}\approx -8{,}57\times10^{-4}.
Unidade: deformação adimensional (sem unidade). O sinal negativo confirma contração na direção z.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{e}_{z}}{\mathrm{e}_{x}}=-\frac{2\nu}{1-\nu}
\displaystyle \mathrm{e}_{z}\approx -8{,}57\times10^{-4}

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