2- . Uma chapa de metal foi deformada elasticamente sob tensão biaxial equilibrada (
)
A. Derive uma expressão para a razão de deformações elásticas,
, em termos de constantes elásticas.
B. Se
e
, e
é medido como
, qual é o valor de
? → Dúvida
A. Derive uma expressão para a razão de deformações elásticas,
B. Se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e nos dá informações claras. Vou listar tudo que é relevante (sem resolver ainda):
- O problema informa que a chapa sofreu uma tensão biaxial equilibrada, isto é,
-
(tensão igual nos eixos e ), -
(nenhuma tensão no eixo ).
-
- Perguntas:
A. Derivar uma expressão para a razão de deformações elásticasem termos das constantes elásticas.
B. Com, e com medido igual a , determinar o valor de . - Observação útil que já dá uma simplificação prática: como
, temos (para material isotrópico linear), então podemos usar o valor medido de como .
Passo 2
Apresentar a lei de Hooke generalizada para um meio elástico isotrópico (fórmulas que relacionam tensões e deformações triaxiais):
Para um material linear e isotrópico, as deformações normais são dadas por
Explicando cada símbolo:
-
é a deformação (adimensional) na direção ( ). -
é a tensão (unidade de pressão) na direção . -
é o módulo de Young (rigidez à tração). -
é o coeficiente de Poisson (relação entre contração lateral e alongamento axial).
Essas fórmulas são a forma tensorial simplificada da lei de Hooke para casos de tensões normais (sem torção) e material isotrópico.
Passo 3
Aplicar as condições do enunciado:
(chamei a tensão comum de
) e
. Substituindo nas fórmulas:
Calcular
:
Calcular
:
Observação didática: note que
é proporcional a
e
também; o sinal negativo em
indica que se houver tração no plano
(tensão positiva
), a espessura (direção
) tende a diminuir (contração).
Passo 4
Formar a razão pedida
. Dividindo as expressões encontradas:
Explicação: ao dividir,
e
cancelam — por isso a razão depende apenas de
(e não de
ou de
). O sinal negativo mostra que
tem sentido oposto a
.
Assim, a expressão geral pedida (parte A) é
Passo 5
Agora a parte B: calcular numericamente
usando
,
e
.
Primeiro calcule o fator da razão:
Multiplicando por
:
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas em notação científica para ficar prático):
Unidade: deformação adimensional (sem unidade). O sinal negativo confirma contração na direção
.