Uma chapa plana, de material com constante dielétrica varepsilonr 1, é limitada em ambos os lados por um material de constante dielétrica varepsilonr 2. O campo elétrico no meio 2, E2, é dado como sendo uniforme e perpendicular aos contornos. Encontre o campo E1, a polarização P1 e a carga de polarização no meio 1.

Passo 1

O enunciado descreve uma lâmina plana de dielétrico com constante relativa varepsilonr1 imersa em um outro dielétrico de constante relativa varepsilonr2 em ambos os lados. No meio 2 há um campo elétrico uniforme ,E2 perpendicular às superfícies da lâmina. Precisamos usar a condição de contorno para o componente normal de D e a relação constitutiva dos dielétricos para encontrar:
  1. O campo ,E1 dentro da lâmina (meio 1).
  2. A polarização P1 no meio 1.
  3. As densidades de carga de polarização no meio 1.

Passo 2

Em ausência de cargas livres na interface, o componente normal de D é contínuo:
D1n=D2n
Como D=varepsilon0varepsilonr, E, segue
varepsilon0,varepsilonr1,E1 ;=;varepsilon0,varepsilonr2,E2
e, portanto,
E1 = varepsilonr2varepsilonr1,E2

Passo 3

A polarização P num dielétrico homogêneo é dada por
P = varepsilon0l(varepsilonr - 1r), E
Logo, em meio 1:
P1 = varepsilon0l(varepsilonr1 - 1r),E1,hat n = varepsilon0l(varepsilonr1-1r),varepsilonr2varepsilonr1,E2,hat n,
onde hat n é o versor normal à superfície (no sentido do campo).

Passo 4

A densidade de carga de polarização no volume é
rhop,vol = -nabla!cdot P1 = 0
porque P1 é uniforme.
As cargas ligadas aparecem apenas na superfície, com densidade
sigmap = P1cdothat n
Se tomarmos hat n apontando para fora da lâmina, nas duas faces teremos
sigmap,face direita = +P1, sigmap,face esquerda = -P1

Resposta

E1 = varepsilonr2varepsilonr1,E2,
P1 = varepsilon0l(varepsilonr1-1r),varepsilonr2varepsilonr1,E2,hat n,
rhop,vol = 0,
sigmap,superf = pm P1l(positivo numa face, negativo na outrar)

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