Os geradores de energia movidos a vapor giram a uma velocidade constante utilizando reguladores que mantêm a pressão do vapor na turbina constante. Adicionalmente, o controle de geração automática (AGC - automatic generation control) ou controle de frequência de carga (LFC - load frequency control) é acrescentado para assegurar confiabilidade e consistência a despeito de variações da carga ou outras perturbações que podem afetar a frequência de saída da linha de distribuição.
Um sistema regulador de turbina específico pode ser descrito utilizando-se apenas o diagrama de blocos abaixo, no qual:
G(s)=Gc(s) Gg(s) Gt(s) Gm(s)
  • Gg(s)=10,2 s+1
    (Função de transferência do regulador)
  • Gt(s)=10,5 s+1
    (Função de transferência da turbina)
  • Gm(s)=110 s+1
    (Função de transferência da máquina e carga)
  • Gc(s) : função de transferência da compensação LFC a ser projetada.
    a) Admitindo Gc(s)=K, determine o valor de K que resultará em um polo dominante com zeta=0,85. Obtenha os polos dominantes e o tempo de assentamento correspondente.
    b) Projete um controlador PID para obter o mesmo fator de amortecimento do item (a), mas com tempo de assentamento de 2,5 segundos e erro em regime permanente nulo para comandos de entrada em degrau.
    c) Caso o PID seja implementado conforme o diagrama abaixo, indique os valores dos ganhos Kp, Ki e Kd.

Passo 1

O enunciado trata do projeto de controladores para o laço fechado de um sistema cuja função de transferência em malha aberta é
L(s)=Gc(s),Gg(s),Gt(s),Gm(s),
com
Gg(s)=10,2s+1, Gt(s)=10,5s+1, Gm(s)=110s+1
No item (a) assume-se Gc(s)=K e pede-se escolher K para que o par de polos dominantes tenha fator de amortecimento zeta=0,85, encontrando também esses polos e o tempo de assentamento. Nos itens (b) e (c) introduz-se um PID que deve garantir o mesmo zeta, tempo de assentamento Ts=2,5 s e erro em regime permanente zero, e depois extrair Kp,Ki,Kd. Usaremos o método de polos dominantes com comparação de polinômios.

Passo 2

Com
Queremos que este polinômio se fatorize como
com . Expandindo e igualando coeficientes obtemos o sistema
Substituindo ,
e

Passo 3

Os polos dominantes correspondem a
s1,2 = -zeta,omeganpm j,omeganraiz1-zeta^2 = -0,85cdot1,064 pm j,(1,064)raiz1-0,85^2 approx -0,904 pm j,0,551
O tempo de assentamento (2 %) fica
Tsapprox4zeta,omegan = 40,85cdot1,064 approx4,42 s

Passo 4

Para um PID na forma paralela
o característico em malha fechada fatoriza um polo em zero e um polinômio cúbico
Queremos que o cúbico tenha o mesmo par dominante de (a), agora com
Igualando coeficientes obtém-se
Para que o polo extra , escolhemos
Então

Passo 5

Confirmamos que com
Kp=18,44, Ki=27,36, Kd=4,10
o sistema em malha fechada tem zeta=0,85, Tsapprox2,5 s e, por ter integrador, erro zero para degrau.

Resposta

(a) Kapprox4,99; polos dominantes
,sapprox-0,904pm j,0,551;
Tsapprox4,42 s.
(b) PID com
,Kp=18,44,;Ki=27,36,;Kd=4,10.
(c) Portanto,
Kp=18,44, Ki=27,36, Kd=4,10

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