2.2O Considere a sequência de Fibonacci
definida no Exemplo 1.5.5. Mostre que:
(a)
;
(b)
e
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado trata da sequência de Fibonacci
definida por
Ele pede em (a) provar a identidade
e em (b) calcular as somas infinitas
Vamos usar a relação de recorrência e técnica de soma telescópica.
Passo 2
Para (a), observamos que pela recorrência
Então, analisamos o lado direito da identidade que queremos:
Passo 3
Isso conclui a prova de (a).
Passo 4
Para (b), primeiro somamos de
até
a identidade de (a):
O lado direito é telescópico:
Passo 5
Como
quando
, temos
.
Logo
Logo
Passo 6
Agora, para a segunda soma note que usando de novo
obtemos
Passo 7
Somando de
até
:
Como
, o numerador inicial é
.
Passo 8
Quando
,
. Portanto