\checkmark 2.2O Considere a sequência de Fibonacci \left\{a_{n}\right\} definida no Exemplo 1.5.5. Mostre que:
(a) \frac{1}{a_{n-1} a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n-1} a_{n}}-\frac{1}{a_{n} a_{n+1}}, \forall n \geq 2;
(b) \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{a_{n-1} a_{n+1}}=1 \quad e \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{a_{n-1} a_{n+1}}=2.

Passo 1

O enunciado trata da sequência de Fibonacci \{a_n\} definida por
a_1 = 1,\quad a_2 = 1,\quad a_{n+1} = a_n + a_{n-1}\quad(\forall n\ge2).
Ele pede em (a) provar a identidade
\frac{1}{a_{n-1}a_{n+1}} =\frac{1}{a_{n-1}a_n} -\frac{1}{a_n a_{n+1}},
e em (b) calcular as somas infinitas
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{a_{n-1}a_{n+1}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n+1}}.
Vamos usar a relação de recorrência e técnica de soma telescópica.

Passo 2

Para (a), observamos que pela recorrência
a_{n+1}-a_{n-1} =(a_n+a_{n-1})-a_{n-1} =a_n.
Então, analisamos o lado direito da identidade que queremos:

Passo 3

\frac{1}{a_{n-1}a_n} -\frac{1}{a_n a_{n+1}} =\frac{a_{n+1}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_n a_{n+1}} =\frac{a_n}{a_{n-1}a_n a_{n+1}} =\frac{1}{a_{n-1}a_{n+1}}.
Isso conclui a prova de (a).

Passo 4

Para (b), primeiro somamos de n=2 até N a identidade de (a):
\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{a_{n-1}a_{n+1}} =\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{a_{n-1}a_n}-\frac{1}{a_n a_{n+1}}\Bigr).
O lado direito é telescópico:
\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{a_{n-1}a_n} -\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{a_n a_{n+1}} =\frac{1}{a_1a_2}-\frac{1}{a_N a_{N+1}} =1-\frac{1}{a_N a_{N+1}}.

Passo 5

Como a_N\to\infty quando N\to\infty, temos \tfrac1{a_N a_{N+1}}\to0.
Logo
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{a_{n-1}a_{n+1}}=1.

Passo 6

Agora, para a segunda soma note que usando de novo a_{n+1}-a_{n-1}=a_n obtemos
\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n+1}} =\frac{a_{n+1}-a_{n-1}}{a_{n-1}a_{n+1}} =\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n+1}}.

Passo 7

Somando de n=2 até N:
\sum_{n=2}^{N}\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n+1}} =\sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_{n+1}}\Bigr) =\bigl(\tfrac1{a_1}+\tfrac1{a_2}\bigr)-\bigl(\tfrac1{a_N}+\tfrac1{a_{N+1}}\bigr).
Como a_1=a_2=1, o numerador inicial é 1+1=2.

Passo 8

Quando N\to\infty, \tfrac1{a_N}+\tfrac1{a_{N+1}}\to0. Portanto
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n+1}}=2.

Resposta

\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{a_{n-1}a_{n+1}}=1, \qquad \sum_{n=2}^{\infty}\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n+1}}=2.

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