Use o Critério da Comparação ou Comparação no Limite para determinar a natureza das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos n}{n^{2}}\

Passo 1

Estamos considerando a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\cos n}{n^{2}}.
Queremos decidir se ela converge ou diverge usando o Critério da Comparação (direto ou no limite).

Passo 2

Observamos que para todo n vale
-1 \le \cos n \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 1 \le 2+\cos n \le 3.
Logo, para n\ge1,
0 < \frac{2+\cos n}{n^{2}} \le \frac{3}{n^{2}}.

Passo 3

Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge (pois p=2>1). Portanto
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{2}} =3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}
converge também. Pelo Critério da Comparação Direta, como
0 \le \frac{2+\cos n}{n^{2}} \le \frac{3}{n^{2}}
e \sum3/n^{2} é convergente, concluímos que
\sum(2+\cos n)/n^{2} converge.

Resposta

A série converge (mais fortemente, converge absolutamente).

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