Dê as derivadas das seguintes funçōes:
a) f(x)=\operatorname{sen}^{4} x^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sin^{4}\bigl(x^{3}\bigr).
O conteúdo aqui é a regra da cadeia em duas etapas: primeiro tratamos o expoente quarto e depois a função \sin composta com x^3.

Passo 2

Definimos u(x)=\sin\bigl(x^3\bigr), de modo que f(x)=u(x)^4. Pela regra da cadeia,
f'(x)=4\,u(x)^3\cdot u'(x).

Passo 3

Agora precisamos de u'(x). Como u(x)=\sin\bigl(x^3\bigr), aplicamos novamente a regra da cadeia definindo v(x)=x^3. Então
u'(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x) \quad\text{com}\quad v'(x)=3x^2.
Logo
u'(x)=\cos\bigl(x^3\bigr)\cdot3x^2.

Passo 4

Substituindo u(x)=\sin(x^3) e u'(x)=3x^2\cos(x^3) em
f'(x)=4\,u(x)^3\cdot u'(x),
obtemos
f'(x)=4\bigl[\sin(x^3)\bigr]^3\cdot\bigl[3x^2\cos(x^3)\bigr] =12x^2\,\sin^3(x^3)\,\cos(x^3).

Resposta

f'(x)=12\,x^2\,\sin^3(x^3)\,\cos(x^3).

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